Se u é uma função escalar, o Laplaciano de u, é definido como De.
(a) Mostre que De, (b) Se u(x, y)=ln raizx^2+y^2 / 2 pi, calcule De.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que o Laplaciano de uma função escalar u(x,y) em coordenadas cartesianas é dado por uxx+uyy; (b) para u(x,y)=lnraizx^2+y^2/2pi, calcular De. Vamos usar definição de gradiente e divergência e derivadas parciais.

Passo 2

O Laplaciano é definido por De. Como nabla u=(ux,uy), sua divergência é a soma das derivadas desses componentes em relação às suas variáveis:
De

Passo 3

Para o item (b), primeiro escrevemos u de forma mais simples:
u(x,y)=12pilnraizx^2+y^2=14piln(x^2+y^2)

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
ux=14picdot2xx^2+y^2=x2pi(x^2+y^2), uy=y2pi(x^2+y^2)

Passo 5

Em seguida, as derivadas de segunda ordem:
uxx=12picdoty^2-x^2(x^2+y^2)^2, uyy=12picdotx^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 6

Somando-as para obter o Laplaciano:
De

Resposta

De para todo (x,y)neq(0,0).

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