Se
é uma função escalar, o Laplaciano de
, é definido como
.
(a) Mostre que
, (b) Se
, calcule
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que o Laplaciano de uma função escalar
em coordenadas cartesianas é dado por
; (b) para
, calcular
. Vamos usar definição de gradiente e divergência e derivadas parciais.
Passo 2
O Laplaciano é definido por
. Como
, sua divergência é a soma das derivadas desses componentes em relação às suas variáveis:
Passo 3
Para o item (b), primeiro escrevemos
de forma mais simples:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 5
Em seguida, as derivadas de segunda ordem:
Passo 6
Somando-as para obter o Laplaciano: