Para a função escalar phi(x, y, z)=2 x-3 y^2+4 x y z
a) Qual é a integral de linha de nabla phi dos pontos (0,0,0) até (1,0,0), se for utilizado uma reta como caminho entre esses dois pontos?
b) nabla phi é conservativo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função escalar é
.
a) A gente quer a integral de linha de do ponto até usando a reta.
b) Perguntam se é um campo conservativo.
Conteúdo: cálculo vetorial (gradiente, integral de linha, campo conservativo). Vamos precisar de:
  • Como achar .
  • Como parametrizar a reta e computar .
  • Conceito de campo conservativo (e teorema fundamental das integrais de linha).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente:
nablaphi =l(partialphipartial x,,partialphipartial y,,partialphipartial zr)
Calculando cada derivada:
nablaphi(x,y,z)=(2+4yz,,-6y+4xz,,4xy)


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Passo 3

Agora, vamos parametrizar a reta de r(t)=(t,0,0), tin[0,1] a nablaphi( r(t)) =(2+4cdot0cdot0,,-6cdot0+4cdot tcdot0,,4cdot tcdot0)=(2,0,0) . Como integralCnablaphicdot d r =integral0^12,dt =2cdot(1-0)=2 e , escolhemos
Então
.
Em cima desse caminho, e , então
O produto escalar é

A integral de linha vira

Passo 4

Um campo dado por é sempre conservativo (é a definição de campo conservativo: ter um potencial escalar ).
Se você quisesse, poderia verificar que , mas nem precisa: todo gradiente é conservativo.

Resposta

a)
b) Sim, é conservativo.

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