Para a função escalar
a) Qual é a integral de linha de
dos pontos
até
, se for utilizado uma reta como caminho entre esses dois pontos?
b)
é conservativo?
a) Qual é a integral de linha de
b)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função escalar é
.
a) A gente quer a integral de linha de do ponto
até
usando a reta.
b) Perguntam se é um campo conservativo.
Conteúdo: cálculo vetorial (gradiente, integral de linha, campo conservativo). Vamos precisar de:
a) A gente quer a integral de linha de
b) Perguntam se
Conteúdo: cálculo vetorial (gradiente, integral de linha, campo conservativo). Vamos precisar de:
- Como achar
. - Como parametrizar a reta e computar
. - Conceito de campo conservativo (e teorema fundamental das integrais de linha).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente:
Calculando cada derivada:
Logo
Logo
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a reta de
a
. Como
e
, escolhemos
Então
.
Em cima desse caminho, e
, então
Em cima desse caminho,
O produto escalar é
A integral de linha vira
A integral de linha vira
Passo 4
Um campo dado por
é sempre conservativo (é a definição de campo conservativo: ter um potencial escalar
).
Se você quisesse, poderia verificar que , mas nem precisa: todo gradiente é conservativo.
Se você quisesse, poderia verificar que
Resposta
a)
b) Sim, é conservativo.
b) Sim,