(Função Exponencial) Um sistema de resfriamento de um servidor segue a lei de resfriamento modelada por
T(t)=20+60 e^{-0.5 t}
Determine a imagem da função T(t) para t \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a função temperatura do servidor, definida para t\geq 0:
T(t)=20+60 e^{-0.5 t}.
A pergunta é: determinar a imagem (conjunto-valor, range) de T quando o domínio é t\geq 0.

Passo 2

Entender o termo exponencial e^{-0.5 t} para t\geq 0. Duas propriedades básicas do exponencial que vamos usar:
  • A função exponencial é sempre positiva, logo para todo t vale e^{-0.5 t}>0.
  • Para t\geq 0 temos -0,5t\leq 0, então e^{-0.5 t}\leq e^{0}=1.
Combinando as duas observações obtemos a desigualdade importante
0 < e^{-0.5 t} \leq 1\qquad\text{para todo }t\geq 0.

Passo 3

Transformar a desigualdade anterior pela operação que aparece em T(t). Primeiro multiplicar por 60:
0 < 60\,e^{-0.5 t} \leq 60.
Agora somar 20 em todos os lados:
20 < 20 + 60\,e^{-0.5 t} \leq 80.
Como T(t)=20+60 e^{-0.5 t}, isso significa que, para todo t\geq 0,
20 < T(t) \leq 80.

Passo 4

Explicar os extremos: em t=0 temos e^{-0{,}5\cdot0}=1, então
T(0)=20+60\cdot1=80,
logo o valor máximo 80 é alcançado (incluso). Quando t\to\infty temos e^{-0{,}5t}\to 0, logo \lim_{t\to\infty}T(t)=20; entretanto e^{-0{,}5t} nunca é zero para t finito, então T(t) nunca atinge 20 — o 20 é apenas limite inferior não alcançado. Além disso, T é contínua e estritamente decrescente (pois T'(t)=-30 e^{-0{,}5t}<0), portanto assume todos os valores entre 20 e 80.

Resposta

(20,80]

Exercícios relacionados