(Função Exponencial) Um sistema de resfriamento de um servidor segue a lei de resfriamento modelada por
Determine a imagem da função
para
.
Passo 1
O enunciado dá a função temperatura do servidor, definida para
:
A pergunta é: determinar a imagem (conjunto-valor, range) de
quando o domínio é
.
Passo 2
Entender o termo exponencial
para
. Duas propriedades básicas do exponencial que vamos usar:
- A função exponencial é sempre positiva, logo para todo
vale . - Para
temos , então .
Combinando as duas observações obtemos a desigualdade importante
Passo 3
Transformar a desigualdade anterior pela operação que aparece em
. Primeiro multiplicar por
:
Agora somar
em todos os lados:
Como
, isso significa que, para todo
,
Passo 4
Explicar os extremos: em
temos
, então
logo o valor máximo
é alcançado (incluso). Quando
temos
, logo
; entretanto
nunca é zero para
finito, então
nunca atinge
— o
é apenas limite inferior não alcançado. Além disso,
é contínua e estritamente decrescente (pois
), portanto assume todos os valores entre
e
.