(Função Polinomial - Desafie-se!) Considere o polinômio p(x)=x^{4}-5 x^{2}+4. Encontre as raízes reais desta função (Dica: utilize uma substituição de variável para transformá-la em uma equação quadrática).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=x^{4}-5x^{2}+4 e pede: encontrar as raízes reais dessa função.
Informações relevantes que temos:
  • O polinômio é dado por p(x)=x^{4}-5x^{2}+4.
  • Queremos todos os valores reais de x tais que p(x)=0.

Passo 2

Observação-chave (dica dada): os expoentes aparecem somente como potências pares ( x^{4} e x^{2}). Nesses casos é útil fazer a substituição
y=x^{2},
pois isso transforma a equação quártica em uma equação quadrática em y. Aplicando a substituição em p(x)=0 obtemos:
y^{2}-5y+4=0.
Explicando essa ideia: a substituição y=x^{2} é válida porque para qualquer x real x^{2} é bem definido; assim, raízes em x correspondem a raízes em y que sejam não negativas (pois y=x^{2}\ge0). Mas primeiro resolvemos a quadrática em y.

Passo 3

Resolver a quadrática \,y^{2}-5y+4=0. Dois métodos comuns:
  • Fatoração direta quando possível.
  • Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Vou tentar fatorar: buscamos dois números cujo produto seja 4 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de y). Esses números são -1 e -4. Logo a quadrática fatoriza como
y^{2}-5y+4=(y-1)(y-4).
Portanto as soluções para y são
y=1\qquad\text{ou}\qquad y=4.
(Se preferir, com a fórmula quadrática: \Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9, então y=(5\pm\sqrt{9})/2=(5\pm3)/2 que dá y=1 e y=4. Mesmo resultado.)

Passo 4

Voltar à variável x. Temos y=x^{2}, então para cada valor de y resolvemos a equação x^{2}=y.
Para y=4:
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{4}=\pm2.
Explicação rápida: se x^{2}=a com a\ge0, as soluções reais são x=\pm\sqrt{a}.
Para y=1:
x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{1}=\pm1.

Passo 5

Podemos também escrever a fatoração completa do polinômio em termos de x. Como achamos y-1 e y-4 com y=x^{2}, temos
p(x)=x^{4}-5x^{2}+4=(x^{2}-1)(x^{2}-4).
Cada quadrado fatoriza em termos lineares:
x^{2}-1=(x-1)(x+1),\qquad x^{2}-4=(x-2)(x+2),
portanto
p(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).
Uma checagem rápida: multiplicando (x^{2}-1)(x^{2}-4) volta-se a x^{4}-5x^{2}+4, então a fatoração está correta e as raízes lineares são exatamente x=\pm1,\pm2.

Resposta

x=-2
x=-1
x=1
x=2

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