(Função Polinomial - Desafie-se!) Considere o polinômio
. Encontre as raízes reais desta função (Dica: utilize uma substituição de variável para transformá-la em uma equação quadrática).
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: encontrar as raízes reais dessa função.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O polinômio é dado por
. - Queremos todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Observação-chave (dica dada): os expoentes aparecem somente como potências pares (
e
). Nesses casos é útil fazer a substituição
pois isso transforma a equação quártica em uma equação quadrática em
. Aplicando a substituição em
obtemos:
Explicando essa ideia: a substituição
é válida porque para qualquer
real
é bem definido; assim, raízes em
correspondem a raízes em
que sejam não negativas (pois
). Mas primeiro resolvemos a quadrática em
.
Passo 3
Resolver a quadrática
. Dois métodos comuns:
- Fatoração direta quando possível.
- Fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
Vou tentar fatorar: buscamos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Logo a quadrática fatoriza como
Portanto as soluções para
são
(Se preferir, com a fórmula quadrática:
, então
que dá
e
. Mesmo resultado.)
Passo 4
Voltar à variável
. Temos
, então para cada valor de
resolvemos a equação
.
Para
:
Explicação rápida: se
com
, as soluções reais são
.
Para
:
Passo 5
Podemos também escrever a fatoração completa do polinômio em termos de
. Como achamos
e
com
, temos
Cada quadrado fatoriza em termos lineares:
portanto
Uma checagem rápida: multiplicando
volta-se a
, então a fatoração está correta e as raízes lineares são exatamente
.