(Função Seno/Cosseno) A tensão de saída de um inversor de frequência é modelada por v(t)=5 \sin (2 t)+10.
(a) Determine o domínio e a imagem da função v(t).
(b) Qual é a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de tensão
v(t)=5\sin(2t)+10.
As perguntas são:
(a) Determine o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis) da função v(t).
(b) Determine a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parte oscilatória é 5\sin(2t).
  • Há um termo constante somado, +10, que desloca verticalmente o gráfico.
  • Não há restrição explícita sobre t no enunciado.

Passo 2

Domínio: o que significa?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de t para os quais a expressão está bem definida. A função seno, \sin(x), está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como a nossa função usa \sin(2t), o argumento é apenas 2t, que também pode ser qualquer número real quando t varia em \mathbb{R}. Portanto não há pontos excluídos por divisão por zero, raízes de índice par, logaritmos, etc. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Imagem (intervalo de valores): ideia chave e fórmula geral.
Lembrete básico sobre seno: para todo real x vale
-1 \le \sin(x) \le 1.
Considere uma função do tipo geral
v(t)=A\sin(\omega t)+D,
onde:
  • A é a amplitude (pode ser positivo ou negativo; o valor absoluto |A| mede o “tamanho” da oscilação),
  • \omega é a frequência angular (não precisamos do valor aqui para a imagem),
  • D é o deslocamento vertical (ou valor médio), que desloca o intervalo do seno para cima ou para baixo.
Porque \sin(\omega t)\in[-1,1], multiplicando por A temos
A\sin(\omega t)\in[-|A|,|A|].
Somando D,
A\sin(\omega t)+D \in [D-|A|,\; D+|A|].
Portanto a imagem de uma função senoidal dessa forma é o intervalo [D-|A|,\;D+|A|].

Passo 4

Aplicando à nossa função: identifique A e D.
Na função dada v(t)=5\sin(2t)+10 temos:
  • A=5 (amplitude),
  • D=10 (deslocamento vertical).
Usando a fórmula da imagem:
\text{imagem} = [D-|A|,\; D+|A|] = [10-|5|,\; 10+|5|] = [10-5,\;10+5].
Calculando:
\text{imagem}=[5,\;15].

Passo 5

Amplitude e deslocamento vertical (explicação prática).
  • Amplitude: por definição aqui é |A|. Como A=5, a amplitude é
\text{amplitude}=5.
Interpretando: a tensão oscila 5 unidades para cima e 5 unidades para baixo em torno do valor médio D.
  • Deslocamento vertical (valor médio): é o termo constante D. Aqui
\text{deslocamento vertical}=10.
Interpretando: a curva do seno está centrada em v=10; a partir desse nível ela sobe até 15 e desce até 5.

Passo 6

Pequeno check mental (para usar na prova): o máximo ocorre quando \sin(2t)=1, então v_{\max}=5\cdot1+10=15. O mínimo ocorre quando \sin(2t)=-1, então v_{\min}=5\cdot(-1)+10=5. Esses valores confirmam a imagem [5,15]. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo!

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}. Imagem: [5,15].
(b) Amplitude: 5. Deslocamento vertical: 10.

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