(Função Seno/Cosseno) A tensão de saída de um inversor de frequência é modelada por
.
(a) Determine o domínio e a imagem da função
.
(b) Qual é a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico?
(a) Determine o domínio e a imagem da função
(b) Qual é a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de tensão
As perguntas são:
(a) Determine o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis) da função .
(b) Determine a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico.
(a) Determine o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis) da função
(b) Determine a amplitude da oscilação e o valor do deslocamento vertical no gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
- A parte oscilatória é
. - Há um termo constante somado,
, que desloca verticalmente o gráfico. - Não há restrição explícita sobre
no enunciado.
Passo 2
Domínio: o que significa?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão está bem definida. A função seno,
, está definida para todo
. Como a nossa função usa
, o argumento é apenas
, que também pode ser qualquer número real quando
varia em
. Portanto não há pontos excluídos por divisão por zero, raízes de índice par, logaritmos, etc. Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Passo 3
Imagem (intervalo de valores): ideia chave e fórmula geral.
Lembrete básico sobre seno: para todo real vale
Lembrete básico sobre seno: para todo real
Considere uma função do tipo geral
onde:
-
é a amplitude (pode ser positivo ou negativo; o valor absoluto mede o “tamanho” da oscilação), -
é a frequência angular (não precisamos do valor aqui para a imagem), -
é o deslocamento vertical (ou valor médio), que desloca o intervalo do seno para cima ou para baixo.
Porque
, multiplicando por
temos
Somando
,
Portanto a imagem de uma função senoidal dessa forma é o intervalo
.
Passo 4
Aplicando à nossa função: identifique
e
.
Na função dada temos:
Na função dada
-
(amplitude), -
(deslocamento vertical).
Usando a fórmula da imagem:
Calculando:
Passo 5
Amplitude e deslocamento vertical (explicação prática).
- Amplitude: por definição aqui é
. Como , a amplitude é
Interpretando: a tensão oscila
unidades para cima e
unidades para baixo em torno do valor médio
.
- Deslocamento vertical (valor médio): é o termo constante
. Aqui
Interpretando: a curva do seno está centrada em
; a partir desse nível ela sobe até
e desce até
.
Passo 6
Pequeno check mental (para usar na prova): o máximo ocorre quando
, então
. O mínimo ocorre quando
, então
. Esses valores confirmam a imagem
. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo!
Resposta
(a) Domínio:
. Imagem:
.
(b) Amplitude: . Deslocamento vertical:
.
(b) Amplitude: