(Função Logarítmica) Em computação, a complexidade de certos algoritmos é dada por C(n)=\log _{2}(n-4).
(a) Determine o domínio real da função C(n).
(b) Encontre o valor de n para o qual a complexidade é zero (raiz da função).

Passo 1

O enunciado dá a função C(n)=\log_{2}(n-4) e pede duas coisas:
  • (a) determinar o domínio real da função C;
  • (b) encontrar o valor de n para o qual C(n)=0 (ou seja, a raiz da função).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um logaritmo com base 2.
  • O argumento do logaritmo é n-4.
  • Não há outras restrições explícitas além da própria definição do logaritmo.

Passo 2

Lembrete rápido (o que é preciso saber sobre logaritmos, explicado de forma direta):
  • A definição: \log_{b}(x)=y significa, por definição, que b^{y}=x. Aqui b é a base do logaritmo (no nosso caso b=2), x é o argumento (aqui x=n-4) e y é o valor do logaritmo (aqui y=C(n)).
  • Domínio do logaritmo: o logaritmo \log_{b}(x) só está definido para argumentos positivos, isto é, para x>0. A base b deve ser positiva e diferente de 1, o que é verdade para b=2.
  • Consequência prática: para \log_{2}(n-4) existir como número real precisamos de n-4>0.
Exemplo rápido para fixar: \log_{2}(8)=3 porque 2^{3}=8. Outro exemplo: \log_{2}(1)=0 porque 2^{0}=1.

Passo 3

Usar a condição de existência do logaritmo para achar o domínio.
A exigência é:
n-4>0.
Somando 4 nos dois lados obtemos
n>4.
Isso significa que o parâmetro n pode ser qualquer número real maior que 4. Em notação de intervalo, o domínio é
(4,\infty).
Explicação intuitiva: se n=4 o argumento do log é 0 e \log_{2}(0) não existe; se n<4 o argumento é negativo e \log_{2} de número negativo também não existe (no conjunto dos reais).

Passo 4

Agora vamos achar a raiz da função, ou seja resolver
\log_{2}(n-4)=0.
Usamos a equivalência logaritmo↔exponencial: \log_{2}(n-4)=0 é equivalente a
2^{0}=n-4.
Como 2^{0}=1, temos
n-4=1.
Somando 4 aos dois lados:
n=5.
Verificação rápida (sempre boa prática): calcular C(5):
C(5)=\log_{2}(5-4)=\log_{2}(1)=0,
então n=5 realmente é raiz. Além disso 5 pertence ao domínio (4,\infty), então está tudo consistente.

Passo 5

Interpretação numérica curta para fixar a ideia:
  • Para n=5 a complexidade é zero: C(5)=0.
  • Para n>5 o argumento n-4>1 e o logaritmo é positivo (por exemplo C(6)=\log_{2}(2)=1).
  • Para 4<n<5 o argumento 0<n-4<1 e o logaritmo é negativo (por exemplo C(4,5)=\log_{2}(0,5)=-1). Isso é matematicamente correto mesmo que, dependendo do contexto de “complexidade”, valores negativos possam não fazer sentido interpretativo — mas do ponto de vista puramente matemático a função está bem definida para todos n>4.
Força aí — você já tem o domínio e a raiz, e as verificações rápidas ajudam a lembrar como o log se comporta.

Resposta

Domínio: (4,\infty)
Raiz: n=5

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