(Função Logarítmica) Em computação, a complexidade de certos algoritmos é dada por
.
(a) Determine o domínio real da função
.
(b) Encontre o valor de
para o qual a complexidade é zero (raiz da função).
(a) Determine o domínio real da função
(b) Encontre o valor de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) determinar o domínio real da função
; - (b) encontrar o valor de
para o qual (ou seja, a raiz da função).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um logaritmo com base
. - O argumento do logaritmo é
. - Não há outras restrições explícitas além da própria definição do logaritmo.
Passo 2
Lembrete rápido (o que é preciso saber sobre logaritmos, explicado de forma direta):
- A definição:
significa, por definição, que . Aqui é a base do logaritmo (no nosso caso ), é o argumento (aqui ) e é o valor do logaritmo (aqui ). - Domínio do logaritmo: o logaritmo
só está definido para argumentos positivos, isto é, para . A base deve ser positiva e diferente de , o que é verdade para . - Consequência prática: para
existir como número real precisamos de .
Exemplo rápido para fixar:
porque
. Outro exemplo:
porque
.
Passo 3
Usar a condição de existência do logaritmo para achar o domínio.
A exigência é:
Somando
nos dois lados obtemos
Isso significa que o parâmetro
pode ser qualquer número real maior que
. Em notação de intervalo, o domínio é
Explicação intuitiva: se
o argumento do log é
e
não existe; se
o argumento é negativo e
de número negativo também não existe (no conjunto dos reais).
Passo 4
Agora vamos achar a raiz da função, ou seja resolver
Usamos a equivalência logaritmo↔exponencial:
é equivalente a
Como
, temos
Somando
aos dois lados:
Verificação rápida (sempre boa prática): calcular
:
então
realmente é raiz. Além disso
pertence ao domínio
, então está tudo consistente.
Passo 5
Interpretação numérica curta para fixar a ideia:
- Para
a complexidade é zero: . - Para
o argumento e o logaritmo é positivo (por exemplo ). - Para
o argumento e o logaritmo é negativo (por exemplo ). Isso é matematicamente correto mesmo que, dependendo do contexto de “complexidade”, valores negativos possam não fazer sentido interpretativo — mas do ponto de vista puramente matemático a função está bem definida para todos .
Força aí — você já tem o domínio e a raiz, e as verificações rápidas ajudam a lembrar como o log se comporta.
Resposta
Domínio:
Raiz:
Raiz: