Limu infty(1-1u)^u

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limu to inftyl(1 - tfrac1ur)^u. O conteúdo da matéria é limites de tipo exponencial, em que usamos logaritmo natural para simplificar a expressão e depois voltamos ao exponencial.

Passo 2

Definimos
L = limu to inftyl(1 - tfrac1ur)^u
e aplicamos logaritmo natural para obter
ln L = limu to infty u lnl(1 - tfrac1ur)

Passo 3

Para avaliar
limu to infty u ln(1 - tfrac1u)
reescrevemos como
limu to infty ln(1 - tfrac1u)1/u
Como 1/u to 0 e vale o limite fundamental
limx to 0 tfracln(1 + x)x = 1,
substituindo x = -tfrac1u obtemos o valor -1. Logo,
ln L = -1.

Passo 4

Finalmente, voltamos ao exponencial e concluímos que
L = e^-1

Resposta

tfrac1e

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