Considere as séries
e
.
© Sendo
, indique a natureza da série
. Justifique.
© Sendo
Passo 1
O exercício pede para descobrir a natureza da série
, sabendo que
com
e
com
são tais que
. Vamos ver cada parte com calma.
Passo 2
Primeiro, a série
é alternada, pois
. Note que
é positivo, decrescente (pode-se usar teste do quociente ou comparar
com
) e tende a zero. Pelo critério de Leibniz,
converge.
Passo 3
A seguir, a série
tem termos positivos e, para grandes
,
[
c_n = \frac{\sqrt[3]{n}}{n^2+1} \sim n^{1/3 - 2} = n^{-5/3},
]
como , é uma p-série convergente. Logo,
converge absolutamente.
[
c_n = \frac{\sqrt[3]{n}}{n^2+1} \sim n^{1/3 - 2} = n^{-5/3},
]
como
Passo 4
Como
e
e
são convergentes, segue que
[
\sum b_n = \sum c_n - \sum a_n
]
é a diferença de duas séries convergentes, portanto também converge.
[
\sum b_n = \sum c_n - \sum a_n
]
é a diferença de duas séries convergentes, portanto também converge.
Passo 5
Para ver que
é absolutamente convergente, note que
[
|b_n| = |c_n - a_n| \le |c_n| + |a_n|,
]
e tanto quanto
convergem (
porque todos
e é convergente,
por decaimento exponencial passa no teste da razão). Logo
converge, ou seja,
é absolutamente convergente.
[
|b_n| = |c_n - a_n| \le |c_n| + |a_n|,
]
e tanto
Resposta
A série
converge absolutamente.