Considere as séries sumn=1^+infty(-1)^n n!n^n e sumn=1^+infty raiz[3]nn^2+1.
© Sendo sumn=1^+infty[(-1)^n n!n^n+bn]=sumn=1^+infty raiz[3]nn^2+1, indique a natureza da série sumn=1^+infty bn. Justifique.

Passo 1

O exercício pede para descobrir a natureza da série sum bn, sabendo que sum an com an = (-1)^n n!n^n e sum cn com cn = raiz[3]nn^2+1 são tais que sum (an + bn) = sum cn. Vamos ver cada parte com calma.

Passo 2

Primeiro, a série sum an é alternada, pois an = (-1)^n n!n^n. Note que n!n^n é positivo, decrescente (pode-se usar teste do quociente ou comparar n!/n^n com (n-1)!/(n-1)^n-1) e tende a zero. Pelo critério de Leibniz, sum an converge.

Passo 3

A seguir, a série sum cn tem termos positivos e, para grandes n,
[
c_n = \frac{\sqrt[3]{n}}{n^2+1} \sim n^{1/3 - 2} = n^{-5/3},
]
como 5/3>1, é uma p-série convergente. Logo, sum cn converge absolutamente.

Passo 4

Como sum(an + bn) = sum cn e sum an e sum cn são convergentes, segue que
[
\sum b_n = \sum c_n - \sum a_n
]
é a diferença de duas séries convergentes, portanto também converge.

Passo 5

Para ver que sum bn é absolutamente convergente, note que
[
|b_n| = |c_n - a_n| \le |c_n| + |a_n|,
]
e tanto sum |cn| quanto sum |an| convergem ( sum|cn| porque todos cn>=0 e é convergente, sum|an| = sum n!/n^n por decaimento exponencial passa no teste da razão). Logo sum|bn| converge, ou seja, sum bn é absolutamente convergente.

Resposta

A série sum bn converge absolutamente.

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