Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=2^x x+log 2 x^22^x

Passo 1

O enunciado pede pra gente derivar a função
f(x)=2^x,x+log2x^22^x
Isso envolve: derivada de exponencial 2^x, derivada de logaritmo de base 2, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para a primeira parcela x,2^x usamos a regra do produto (u v)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x e v(x)=2^x. Temos
u'(x)=1 e
v'(x)=2^xln2
Logo
ddx(x2^x)=1cdot2^x+xcdot2^xln2=2^x(1+xln2)

Passo 3

Para a segunda parcela
h(x)=log2x^22^x,
primeiro simplificamos log2x^2=2log2x=2ln xln2 e
12^x=2^-x
Assim
h(x)=2ln2,ln x;2^-x

Passo 4

Agora derivamos h(x)=2ln2(ln x),2^-x também por produto. Chamando A=2ln2, u=ln x, v=2^-x, temos
u'=1/x e
v'=2^-x(-ln2).
Então
h'(x)&=Al(u'v+u v'r) &=2ln2l(1x2^-x+ln x,(-ln2)2^-xr) &=2^1-xxln2-2^1-xln x=2^1-xl(1xln2-ln xr)

Passo 5

Somando as duas derivadas achamos
f'(x)=2^x(1+xln2)+2^1-xl(1xln2-ln xr)

Resposta

f'(x)=2^xl(1+xln2r)+2^1-xl(tfrac1xln2-ln xr)

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