1. A função f definida por
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[2]{x}}-2}{x-8}
é descontinua em 8. Mostre que a descontinuidade é removivel e redefina f(8) de modo a removê-la.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[2]{x}}-2}{x-8}
e afirma que há descontinuidade em 8; pede para mostrar que essa descontinuidade é removível e redefinir f(8) para removê-la.
Uma observação necessária antes de começar: para que a descontinuidade em x=8 seja removível é preciso que o numerador tenda a zero quando x\to8 (pois o denominador tende a zero). Ou seja, deve valer
\sqrt{2+\sqrt[n]{8}}-2=0
onde aqui \sqrt[n]{x} é a raiz indicada no enunciado. Da equação acima segue \sqrt[n]{8}=2, o que implica 8^{1/n}=2 e, portanto, n=3. Assim, o enunciado coerente (que tem descontinuidade removível em 8) corresponde a
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}.
Vou trabalhar com essa expressão (isto é, com a raiz cúbica dentro da raiz quadrada), pois é a que permite a descontinuidade removível em x=8.
O que precisamos fazer: calcular \displaystyle\lim_{x\to8}f(x). Se esse limite existir e for finito, então a descontinuidade é removível e podemos redefinir f(8) igual a esse limite.

Passo 2

Faço a substituição útil \displaystyle t=\sqrt[3]{x}. Isso simplifica a manipulação das potências e, quando x\to8, tem-se t\to2. Reescrevendo f em função de t:
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8} =\frac{\sqrt{2+t}-2}{t^{3}-8}.
Note que, ao substituir t=2, tanto o numerador quanto o denominador se anulam, ficando uma forma 0/0. Isso pede manipulação algébrica para cancelar o fator que causa o zero.

Passo 3

Aplicamos a técnica de racionalização do numerador: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2+t}+2. Isso serve para eliminar a raiz no numerador. Faça o produto e veja a simplificação:
\frac{\sqrt{2+t}-2}{t^{3}-8}\cdot\frac{\sqrt{2+t}+2}{\sqrt{2+t}+2} =\frac{(\sqrt{2+t}-2)(\sqrt{2+t}+2)}{(t^{3}-8)(\sqrt{2+t}+2)}.
No numerador, o produto é uma diferença de quadrados:
(\sqrt{2+t}-2)(\sqrt{2+t}+2)=(2+t)-4=t-2.
Logo a expressão fica
\frac{t-2}{(t^{3}-8)\,(\sqrt{2+t}+2)}.

Passo 4

Agora usamos a fatoração da diferença de cubos para t^{3}-8. Lembrete da fórmula: para quaisquer a,b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=t e b=2 (pois 8=2^{3}),
t^{3}-8=(t-2)(t^{2}+2t+4).
Substituindo isso na expressão anterior:
\frac{t-2}{(t-2)(t^{2}+2t+4)\,(\sqrt{2+t}+2)}.
Agora percebe-se que o fator (t-2) cancela (para t\neq2), ficando uma expressão sem indeterminação.

Passo 5

Após o cancelamento obtemos para t\neq2:
\frac{1}{(t^{2}+2t+4)\,(\sqrt{2+t}+2)}.
Essa função é contínua em t=2, então o limite quando t\to2 é o valor obtido substituindo t=2. Calcule cada parte:
t^{2}+2t+4\Big|_{t=2}=2^{2}+2\cdot2+4=4+4+4=12,
\sqrt{2+t}+2\Big|_{t=2}=\sqrt{4}+2=2+2=4.
Multiplicando os fatores: 12\cdot4=48. Portanto
\lim_{t\to2}\frac{1}{(t^{2}+2t+4)\,(\sqrt{2+t}+2)}=\frac{1}{48}.
Como t=\sqrt[3]{x} e t\to2 equivale a x\to8, concluímos
\lim_{x\to8}f(x)=\frac{1}{48}.

Passo 6

Interpretação final: o limite de f(x) quando x\to8 existe e vale \dfrac{1}{48}. Isso significa que a descontinuidade em x=8 é removível. Para remover a descontinuidade basta redefinir o valor de f em 8 igual ao limite:
f(8):=\frac{1}{48}.
Dessa forma a função fica contínua em x=8.

Resposta

f(8)=\dfrac{1}{48}

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