é descontinua em 8. Mostre que a descontinuidade é removivel e redefina f(8) de modo a removê-la.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[2]{x}}-2}{x-8}
e afirma que há descontinuidade em 8; pede para mostrar que essa descontinuidade é removível e redefinir f(8) para removê-la.
Uma observação necessária antes de começar: para que a descontinuidade em x=8 seja removível é preciso que o numerador tenda a zero quando x\to8 (pois o denominador tende a zero). Ou seja, deve valer
\sqrt{2+\sqrt[n]{8}}-2=0
onde aqui \sqrt[n]{x} é a raiz indicada no enunciado. Da equação acima segue \sqrt[n]{8}=2, o que implica 8^{1/n}=2 e, portanto, n=3. Assim, o enunciado coerente (que tem descontinuidade removível em 8) corresponde a
f(x)=\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}.
Vou trabalhar com essa expressão (isto é, com a raiz cúbica dentro da raiz quadrada), pois é a que permite a descontinuidade removível em x=8.
O que precisamos fazer: calcular \displaystyle\lim_{x\to8}f(x). Se esse limite existir e for finito, então a descontinuidade é removível e podemos redefinir f(8) igual a esse limite.
Passo 2
Faço a substituição útil \displaystyle t=\sqrt[3]{x}. Isso simplifica a manipulação das potências e, quando x\to8, tem-se t\to2. Reescrevendo f em função de t:
Note que, ao substituir t=2, tanto o numerador quanto o denominador se anulam, ficando uma forma 0/0. Isso pede manipulação algébrica para cancelar o fator que causa o zero.
Passo 3
Aplicamos a técnica de racionalização do numerador: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2+t}+2. Isso serve para eliminar a raiz no numerador. Faça o produto e veja a simplificação:
Como t=\sqrt[3]{x} e t\to2 equivale a x\to8, concluímos
\lim_{x\to8}f(x)=\frac{1}{48}.
Passo 6
Interpretação final: o limite de f(x) quando x\to8 existe e vale \dfrac{1}{48}. Isso significa que a descontinuidade em x=8 é removível. Para remover a descontinuidade basta redefinir o valor de f em 8 igual ao limite: