1. A função g definida por
g(x)=\frac{\sqrt[2]{x+a^{3}}-a}{x}
é descontínua no 0 . Mostre que a descontinuidade é removivel e redefina g(0), de modo a removê-la.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{\sqrt[2]{x+a^{3}}-a}{x}
e afirma que ela é descontínua em 0. O que pede:
  • Mostrar que a descontinuidade em 0 é removível (ou seja, que existe um valor finito que se pode atribuir a g(0) para tornar g contínua em 0);
  • Redefinir g(0) de modo a remover a descontinuidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt[2]{x+a^{3}}=(x+a^{3})^{1/2}, logo, para que a função seja real perto de 0 é necessário que x+a^{3}\ge 0 em uma vizinhança de 0; em particular, para que 0 pertença ao domínio lateral em torno de 0 é conveniente considerar a\ge 0.
  • A função, tal como escrita, não está definida em x=0 por causa do denominador x.
  • Para que a descontinuidade em 0 seja removível precisamos que o limite \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[2]{x+a^{3}}-a}{x} exista e seja finito; então devemos calcular esse limite e ver quando ele existe.

Passo 2

Vamos estudar a existência do limite
L:=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[2]{x+a^{3}}-a}{x}.
Primeiro observe o comportamento do numerador quando x\to 0:
\sqrt[2]{x+a^{3}}-a \xrightarrow[x\to0]{} \sqrt[2]{a^{3}}-a.
Se \sqrt[2]{a^{3}}-a\neq 0 então o numerador tende a uma constante não nula e o quociente tende a infinito (ou não existe como número finito), logo o limite L não é finito e a descontinuidade não pode ser removida por atribuir um valor finito a g(0). Portanto, uma condição necessária para que L seja finito é
\sqrt[2]{a^{3}}-a=0.
Agora resolvemos essa equação, lembrando que \sqrt[2]{a^{3}} está definida (no sentido real) apenas se a^{3}\ge0, ou seja, a\ge0. Para a\ge0 temos \sqrt[2]{a^{3}}=a\sqrt[2]{a}. A equação fica
a\sqrt[2]{a}-a=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\bigl(\sqrt[2]{a}-1\bigr)=0.
As soluções reais com a\ge0 são a=0 ou \sqrt[2]{a}=1 que dá a=1. Conclusão até aqui:
  • Se a\ne 0 e a\ne 1 então \sqrt[2]{a^{3}}-a\neq0 e o limite L não é finito (descontinuidade não removível).
  • Resta analisar os casos a=0 e a=1 com mais cuidado.

Passo 3

Caso a=1. Calcule o limite explicitamente:
L=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[2]{x+1}-1}{x}.
Aqui usamos a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado (truque padrão para limites com raiz quadrada): multiplica-se por \dfrac{\sqrt[2]{x+1}+1}{\sqrt[2]{x+1}+1}. Assim
\frac{\sqrt[2]{x+1}-1}{x} = \frac{(\sqrt[2]{x+1}-1)(\sqrt[2]{x+1}+1)}{x(\sqrt[2]{x+1}+1)} = \frac{x+1-1}{x(\sqrt[2]{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt[2]{x+1}+1)}.
Cancelando x (válido para x\neq0) obtemos
\frac{\sqrt[2]{x+1}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt[2]{x+1}+1}.
Agora tomamos o limite x\to0:
L=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[2]{x+1}+1}=\frac{1}{\sqrt[2]{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto, quando a=1 o limite existe e vale \tfrac{1}{2}. Atribuindo g(0)=\tfrac{1}{2} torna-se g contínua em 0: essa é a remoção da descontinuidade.

Passo 4

Caso a=0. A função é
g(x)=\frac{\sqrt[2]{x}-0}{x}=\frac{\sqrt[2]{x}}{x}=x^{-1/2}
(definida apenas para x\ge0). Ao aproximar x\to0^+ tem-se g(x)\to+\infty. Assim o limite não é finito e a descontinuidade em 0 não é removível atribuindo um valor finito.
Caso a<0. Para a<0 temos a^{3}<0 e, para x muito próximo de 0, x+a^{3}<0, então a raiz quadrada não é real e a função não está definida em vizinhanças de 0 (pelo menos para valores de x de ambos os lados), de modo que não há como obter continuidade real em 0 sem antes alterar a definição da função em uma vizinhança inteira. Portanto, também não há remoção simples da descontinuidade em 0.
Resumo: o único caso em que o limite finito existe e permite remover a descontinuidade é a=1.

Passo 5

Conclusão prática para remover a descontinuidade: quando a=1 atribuir
g(0)=\frac{1}{2}
faz com que g seja contínua em 0. Nos outros valores de a (em particular a=0 ou a\ne1) a descontinuidade não é removível por atribuir um valor finito a g(0).

Resposta

A descontinuidade é removível apenas para a=1. Redefinindo g(0)=\tfrac{1}{2} a função fica contínua em 0.

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