José e Pedro são irmãos gêmeos. Com que velocidade a espaçonave de um deles teria que viajar para que o tempo na terra passe 3 vezes mais rápido que na nave? [
]
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade
da espaçonave tal que o tempo na Terra passe 3 vezes mais rápido do que o tempo a bordo da espaçonave. Informações dadas e pressupostos claros:
- A razão entre o tempo medido na Terra e o tempo próprio da nave deve ser
. Ou seja, para cada intervalo de tempo medido na nave, um intervalo medido na Terra satisfaz . - A velocidade buscada é relativa entre a Terra e a nave; a constante fundamental é a velocidade da luz
. - Assume-se a fórmula de dilatação temporal da relatividade restrita válida: os relógios da nave (em movimento) correm mais devagar vistos da Terra.
Passo 2
Apresentando a fórmula e definindo variáveis (aula rápida e direta):
- Chama-se
o tempo próprio do viajante (tempo medido na nave, ou seja, pelo relógio que se move junto com a nave). - Chama-se
o tempo medido no referencial da Terra. - A dilatação temporal diz que o intervalo de tempo medido no referencial onde o relógio está em movimento é maior que o tempo próprio por um fator chamado fator de Lorentz
. A relação é
- O fator de Lorentz é dado por
Expliquei o que cada símbolo representa:
é a velocidade da nave relativa à Terra e
é a velocidade da luz. A ideia física: quanto mais rápido a nave se move, maior
e mais lento o relógio a bordo parece decorrer para observadores na Terra.
Passo 3
Aplicando a condição do enunciado à fórmula:
- O enunciado pede
. Comparando com , obtemos
Logo precisamos achar
tal que o fator de Lorentz valha
.
Passo 4
Resolvendo a equação para
passo a passo:
Partimos de
Partimos de
Invertemos ambos os lados:
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
Portanto a expressão exata para a velocidade é
Passo 5
Cálculo numérico aproximado e arredondamento (fácil sem calculadora se quiser ver a ideia):
-
, então . - Dividindo por
dá .
Logo
Arredondando a duas casas decimais (formato pedido):