José e Pedro são irmãos gêmeos. Com que velocidade a espaçonave de um deles teria que viajar para que o tempo na terra passe 3 vezes mais rápido que na nave? [ 0,94 c ]

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade v da espaçonave tal que o tempo na Terra passe 3 vezes mais rápido do que o tempo a bordo da espaçonave. Informações dadas e pressupostos claros:
  • A razão entre o tempo medido na Terra e o tempo próprio da nave deve ser 3. Ou seja, para cada intervalo de tempo \tau medido na nave, um intervalo t medido na Terra satisfaz t=3\tau.
  • A velocidade buscada é relativa entre a Terra e a nave; a constante fundamental é a velocidade da luz c.
  • Assume-se a fórmula de dilatação temporal da relatividade restrita válida: os relógios da nave (em movimento) correm mais devagar vistos da Terra.

Passo 2

Apresentando a fórmula e definindo variáveis (aula rápida e direta):
  • Chama-se \tau o tempo próprio do viajante (tempo medido na nave, ou seja, pelo relógio que se move junto com a nave).
  • Chama-se t o tempo medido no referencial da Terra.
  • A dilatação temporal diz que o intervalo de tempo medido no referencial onde o relógio está em movimento é maior que o tempo próprio por um fator chamado fator de Lorentz \gamma. A relação é
t=\gamma\,\tau.
  • O fator de Lorentz é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Expliquei o que cada símbolo representa: v é a velocidade da nave relativa à Terra e c é a velocidade da luz. A ideia física: quanto mais rápido a nave se move, maior \gamma e mais lento o relógio a bordo parece decorrer para observadores na Terra.

Passo 3

Aplicando a condição do enunciado à fórmula:
  • O enunciado pede t=3\tau. Comparando com t=\gamma\tau, obtemos
\gamma=3.
Logo precisamos achar v tal que o fator de Lorentz valha 3.

Passo 4

Resolvendo a equação para v passo a passo:
Partimos de
\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=3.
Invertemos ambos os lados:
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{3}.
Elevando ao quadrado:
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{9}.
Isolando v^{2}/c^{2}:
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
\frac{v}{c}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Portanto a expressão exata para a velocidade é
v=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,c.

Passo 5

Cálculo numérico aproximado e arredondamento (fácil sem calculadora se quiser ver a ideia):
  • \sqrt{2}\approx1,4142, então 2\sqrt{2}\approx2,8284.
  • Dividindo por 3 2,8284/3\approx0,9428.
    Logo
v\approx0,9428\,c.
Arredondando a duas casas decimais (formato pedido):
v\approx0,94\,c.

Resposta

0,94\,c

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