Calcule os limites
lim x infty sen((n !)^2(2 n) !). Sugestão para o item (b): Use séries numéricas e o teste sobre o termo geral de uma série.

Passo 1

O enunciado pede
limntoinftysin!l((n!)^2(2n)!r).
O conteúdo aqui envolve limites de sequência, continuidade da função sin e o teste do termo geral de uma série numérica para mostrar que o argumento de sin tende a zero.

Passo 2

Defina
an = (n!)^2(2n)!
Se provamos que limntoinftyan=0, pela continuidade de sin teremos
limntoinftysin(an)=sinl(limntoinftyanr)=sin(0)=0
Para mostrar anto0, considere a série sum an e use o teste da razão, pois toda série convergente tem termo geral que vai a zero.

Passo 3

Calcule a razão entre termos consecutivos:
an+1 = l((n+1)!r)^2(2n+2)!, an = (n!)^2(2n)!
Logo,
an+1an = l((n+1)!r)^2(2n+2)!,(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+1)(2n+2)
Aplicando o limite:
limntoinftyan+1an = limntoinfty(n+1)^2(2n+1)(2n+2) = 12cdot12 = 14 < 1
Portanto a série sum an converge e implica limntoinftyan=0.

Passo 4

Como limntoinftyan=0 e sin é contínua em 0, segue
limntoinftysinl(anr) = sinl(limntoinftyanr) = sin(0) = 0

Resposta

0

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