[1,5 pt.] 1) Calcule a integral
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver ainda).
- Pede calcular a integral dupla
- As informações/recursos fornecidos no enunciado:
- a substituição sugerida:
, -
.
- a substituição sugerida:
Passo 2
Entender a região de integração no plano
. Para
variando em
a variável
varia de
até
. Logo o domínio
é
Para trocar a ordem de integração precisamos escrever
com
primeiro: quais são os valores possíveis de
em
? O menor é
e o maior é
, pois
. Para um
fixo em
a condição
é equivalente a
Portanto podemos reescrever
como
Passo 3
Trocar a ordem de integração usando a descrição obtida:
Aqui
é constante em relação a
, então podemos integrar primeiro em
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Portanto a integral dupla fica
Passo 5
Agora use a substituição sugerida para integrar em
. Tome
Note que
. Os limites em
são: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo:
Passo 6
Avaliar a integral em
:
Multiplicando pelo fator
obtém-se