[1,5 pt.] 1) Calcule a integral
\begin{aligned} \int_{0}^{1} \int_{-1}^{-x^{2}} x \operatorname{sen}\left(y^{2}\right) d y d x & \\\ u & =y^{2} \\\ d u & =2 y d y \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver ainda).
  • Pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{-1}^{-x^{2}} x\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
  • As informações/recursos fornecidos no enunciado:
    • a substituição sugerida: u=y^{2},
    • du=2y\,dy.

Passo 2

Entender a região de integração no plano (x,y). Para x variando em [0,1] a variável y varia de -1 até -x^{2}. Logo o domínio R é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\\\ -1\le y\le -x^{2}\}.
Para trocar a ordem de integração precisamos escrever R com y primeiro: quais são os valores possíveis de y em R? O menor é -1 e o maior é 0, pois -x^{2}\le 0. Para um y fixo em [-1,0] a condição -x^{2}\ge y é equivalente a
x^{2}\le -y \quad\Rightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{-y}.
Portanto podemos reescrever R como
R=\{(x,y)\mid -1\le y\le 0,\\\ 0\le x\le \sqrt{-y}\}.

Passo 3

Trocar a ordem de integração usando a descrição obtida:
\int_{0}^{1}\int_{-1}^{-x^{2}} x\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx =\int_{-1}^{0}\int_{0}^{\sqrt{-y}} x\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Aqui \sin\!\bigl(y^{2}\bigr) é constante em relação a x, então podemos integrar primeiro em x.

Passo 4

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{\sqrt{-y}} x\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dx =\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\int_{0}^{\sqrt{-y}} x\,dx =\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{\sqrt{-y}} =\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\cdot \tfrac{1}{2}(-y).
Portanto a integral dupla fica
\int_{-1}^{0} \tfrac{1}{2}(-y)\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora use a substituição sugerida para integrar em y. Tome
u=y^{2},\qquad du=2y\,dy.
Note que -y\,dy = -\dfrac{1}{2}du. Os limites em u são: quando y=-1 temos u=1; quando y=0 temos u=0. Substituindo:
\int_{-1}^{0} \tfrac{1}{2}(-y)\sin\!\bigl(y^{2}\bigr)\,dy =\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{0}(-y)\sin(u)\,dy =\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)\int_{u=1}^{u=0}\sin u\,du =-\tfrac{1}{4}\int_{1}^{0}\sin u\,du.

Passo 6

Avaliar a integral em u:
\int_{1}^{0}\sin u\,du = -\int_{0}^{1}\sin u\,du = -\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} = -\bigl(-\cos 1 + \cos 0\bigr)=\cos 1 - 1.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{4} obtém-se
-\tfrac{1}{4}\bigl(\cos 1 - 1\bigr)=\tfrac{1}{4}\bigl(1-\cos 1\bigr).

Resposta

\dfrac{1}{4}\bigl(1-\cos 1\bigr)

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