Seja
diferenciável em
tal que a curva
esteja contida no gráfico de
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são:
-
é diferenciável em . - A curva
está contida no gráfico de . - Não há outras hipóteses adicionais.
Logo, sabemos que cada pontosatisfaz a relação que define o gráfico de .
Passo 2
Interpretação do fato "a curva está contida no gráfico de
". O gráfico de
é o conjunto
Se
pertence a esse gráfico para todo
, então as duas primeiras componentes de
são as entradas de
e a terceira componente é o valor de
nessas entradas. Portanto temos, para todo
,
Isso é a relação fundamental que vamos diferenciar.
Passo 3
Vamos definir funções escalares auxiliares, para clareza:
Assim escrevemos compactamente
Passo 4
Apresentação da regra da cadeia (para funções de várias variáveis) e interpretação didática.
Se é diferenciável e
são funções diferenciáveis de
, então a derivada de
é dada por
Se
Explicando:
é a taxa de variação de
quando apenas a primeira variável (
) muda;
é a taxa de variação quando apenas a segunda variável (
) muda. Multiplicamos cada uma pelo ritmo de variação da respectiva variável em função de
, e somamos — é a regra da cadeia para composições.
Passo 5
Calculamos
e
passo a passo, como se estivéssemos na prova:
- Para
, usando a regra do polinômio,
- Para
, lembre que . Aqui e . Assim
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com os valores de
e
obtidos:
Substituindo
,
,
e
, vem
Passo 7
Organizando o resultado de forma mais limpa e com sinal explícito:
Pronto — essa é a expressão de
em termos das derivadas parciais de
avaliadas nos pontos indicados pela curva.