Seja g(x, y) diferenciável em \mathbb{R}^{2} tal que a curva \gamma(t)=\left(1+t^{2}, e^{7-t}, \ell(t)\right) esteja contida no gráfico de g. Calcule \ell^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \ell'(t). As informações dadas são:
  • g é diferenciável em \mathbb{R}^2.
  • A curva \gamma(t)=\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t},\,\ell(t)\bigr) está contida no gráfico de g.
  • Não há outras hipóteses adicionais.
    Logo, sabemos que cada ponto \gamma(t) satisfaz a relação que define o gráfico de g.

Passo 2

Interpretação do fato "a curva está contida no gráfico de g". O gráfico de g é o conjunto
\{(x,y,g(x,y)) \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
Se \gamma(t) pertence a esse gráfico para todo t, então as duas primeiras componentes de \gamma são as entradas de g e a terceira componente é o valor de g nessas entradas. Portanto temos, para todo t,
\ell(t)=g\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr).
Isso é a relação fundamental que vamos diferenciar.

Passo 3

Vamos definir funções escalares auxiliares, para clareza:
x(t):=1+t^{2},\qquad y(t):=e^{7-t}.
Assim escrevemos compactamente
\ell(t)=g\bigl(x(t),\,y(t)\bigr).

Passo 4

Apresentação da regra da cadeia (para funções de várias variáveis) e interpretação didática.
Se g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável e x(t),y(t) são funções diferenciáveis de t, então a derivada de t\mapsto g(x(t),y(t)) é dada por
\frac{d}{dt}g\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\frac{\partial g}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial g}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Explicando: \dfrac{\partial g}{\partial x} é a taxa de variação de g quando apenas a primeira variável ( x ) muda; \dfrac{\partial g}{\partial y} é a taxa de variação quando apenas a segunda variável ( y ) muda. Multiplicamos cada uma pelo ritmo de variação da respectiva variável em função de t, e somamos — é a regra da cadeia para composições.

Passo 5

Calculamos x'(t) e y'(t) passo a passo, como se estivéssemos na prova:
  • Para x(t)=1+t^{2}, usando a regra do polinômio,
x'(t)=2t.
  • Para y(t)=e^{7-t}, lembre que \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}u'(t). Aqui u(t)=7-t e u'(t)=-1. Assim
y'(t)=e^{7-t}\cdot(-1)=-e^{7-t}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os valores de x'(t) e y'(t) obtidos:
\ell'(t)=\frac{\partial g}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial g}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Substituindo x(t)=1+t^{2}, y(t)=e^{7-t}, x'(t)=2t e y'(t)=-e^{7-t}, vem
\ell'(t)=\frac{\partial g}{\partial x}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr)\cdot 2t +\frac{\partial g}{\partial y}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr)\cdot\bigl(-e^{7-t}\bigr).

Passo 7

Organizando o resultado de forma mais limpa e com sinal explícito:
\ell'(t)=2t\;\frac{\partial g}{\partial x}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr)-e^{7-t}\;\frac{\partial g}{\partial y}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr).
Pronto — essa é a expressão de \ell'(t) em termos das derivadas parciais de g avaliadas nos pontos indicados pela curva.

Resposta

\ell'(t)=2t\;\frac{\partial g}{\partial x}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr)-e^{7-t}\;\frac{\partial g}{\partial y}\bigl(1+t^{2},\,e^{7-t}\bigr).

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