Mostre que os limites abaixo não existem.
(b)
, com
para
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe, onde a função
é dada por
para
. Informações relevantes fornecidas:
- A função não está definida no ponto
, pois tanto numerador quanto denominador se anulam lá. - O objetivo é provar que não existe um valor
tal que quando .
Passo 2
Lembrete didático sobre o que significa “o limite existe” em duas variáveis: o limite
existe e é igual a
se, e somente se, para toda sequência
com
e
, os valores
tendem para o mesmo número
. Uma consequência prática muito usada em provas é: se for possível encontrar duas curvas (ou caminhos) que se aproximam de
e que produzam limites diferentes (ou um finito e outro infinito), então o limite geral não existe. Vou usar exatamente essa ideia.
Passo 3
Primeiro observação algébrica simples (útil para escolher caminhos): o numerador fatoriza. Para qualquer
,
Essa fatoração é obtida por agrupamento:
. Vou usar isso nas contas a seguir.
Passo 4
Avaliação do limite ao longo do caminho horizontal
. Ao aproximar
de
por pontos com
e
, temos
. Usando a fatoração,
para todo
. Portanto, ao aproximar
de
ao longo da reta
, os valores de
são sempre
, e assim o limite ao longo dessa reta é
Isso mostra que, se existir um limite total, ele teria de ser
(ou pelo menos seria coerente com esse caminho).
Passo 5
Agora escolho um caminho diferente: a parábola dada por
Esse caminho aproxima
quando
, e está fora do ponto
para
. Faço a substituição
. Então
. Usando a fatoração do numerador,
Para
isso simplifica para
Passo 6
Análise do comportamento quando
(ou seja,
ao longo da parábola):
- Se
(aproximação por ), então . - Se
(aproximação por ), então .
Em particular, o valor de
ao longo dessa parábola não tende para um número finito; ele explode para
dependendo do lado de aproximação. Logo o limite ao longo do caminho
não é
(na verdade não é nem finito).
Passo 7
Conclusão combinando os dois caminhos: pelo caminho
o limite é
; pelo caminho
os valores divergem (não tendem a
nem a qualquer número finito). Como existem dois caminhos que dão comportamentos incompatíveis, o limite de
quando
não pode existir.
Resposta
O limite não existe.