Mostre que os limites abaixo não existem.
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} g(x, y), com g(x, y)=\frac{x y-x-y+1}{(x-1)^{4}+(y-1)^{2}} para (x, y) \neq(1,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} g(x,y)
não existe, onde a função g é dada por
g(x,y)=\frac{xy-x-y+1}{(x-1)^{4}+(y-1)^{2}}
para (x,y)\neq(1,1). Informações relevantes fornecidas:
  • A função não está definida no ponto (1,1), pois tanto numerador quanto denominador se anulam lá.
  • O objetivo é provar que não existe um valor L\in\mathbb{R} tal que g(x,y)\to L quando (x,y)\to(1,1).

Passo 2

Lembrete didático sobre o que significa “o limite existe” em duas variáveis: o limite \lim_{(x,y)\to(1,1)} g(x,y) existe e é igual a L se, e somente se, para toda sequência (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\neq(1,1) e (x_n,y_n)\to(1,1), os valores g(x_n,y_n) tendem para o mesmo número L. Uma consequência prática muito usada em provas é: se for possível encontrar duas curvas (ou caminhos) que se aproximam de (1,1) e que produzam limites diferentes (ou um finito e outro infinito), então o limite geral não existe. Vou usar exatamente essa ideia.

Passo 3

Primeiro observação algébrica simples (útil para escolher caminhos): o numerador fatoriza. Para qualquer (x,y),
xy-x-y+1 = (x-1)(y-1).
Essa fatoração é obtida por agrupamento: xy-x-y+1 = x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1). Vou usar isso nas contas a seguir.

Passo 4

Avaliação do limite ao longo do caminho horizontal y=1. Ao aproximar (x,y) de (1,1) por pontos com y=1 e x\neq1, temos y-1=0. Usando a fatoração,
g(x,1)=\frac{(x-1)(1-1)}{(x-1)^{4}+(1-1)^{2}}=\frac{(x-1)\cdot 0}{(x-1)^{4}+0}=0,
para todo x\neq1. Portanto, ao aproximar (x,y) de (1,1) ao longo da reta y=1, os valores de g(x,y) são sempre 0, e assim o limite ao longo dessa reta é
\lim_{x\to1} g(x,1)=0.
Isso mostra que, se existir um limite total, ele teria de ser 0 (ou pelo menos seria coerente com esse caminho).

Passo 5

Agora escolho um caminho diferente: a parábola dada por
y = 1 + (x-1)^{2}.
Esse caminho aproxima (1,1) quando x\to1, e está fora do ponto (1,1) para x\neq1. Faço a substituição h=x-1. Então y-1=h^{2}. Usando a fatoração do numerador,
g(x,y)=\frac{(x-1)(y-1)}{(x-1)^{4}+(y-1)^{2}}=\frac{h\cdot h^{2}}{h^{4}+h^{4}}=\frac{h^{3}}{2h^{4}}.
Para h\neq0 isso simplifica para
g(x,y)=\frac{1}{2h}.

Passo 6

Análise do comportamento quando h\to0 (ou seja, x\to1 ao longo da parábola):
  • Se h\to0^{+} (aproximação por x>1), então \dfrac{1}{2h}\to+\infty.
  • Se h\to0^{-} (aproximação por x<1), então \dfrac{1}{2h}\to-\infty.
Em particular, o valor de g(x,y) ao longo dessa parábola não tende para um número finito; ele explode para \pm\infty dependendo do lado de aproximação. Logo o limite ao longo do caminho y=1+(x-1)^{2} não é 0 (na verdade não é nem finito).

Passo 7

Conclusão combinando os dois caminhos: pelo caminho y=1 o limite é 0; pelo caminho y=1+(x-1)^{2} os valores divergem (não tendem a 0 nem a qualquer número finito). Como existem dois caminhos que dão comportamentos incompatíveis, o limite de g(x,y) quando (x,y)\to(1,1) não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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