- Uma função
é dita periódica se existe
tal que
. Prove que toda função contínua e periódica é limitada e tem máximo e mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é contínua e existe um período
tal que
então
é limitada e atinge valor máximo e mínimo no seu domínio. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que garante que toda função contínua num intervalo fechado e limitado é limitada e atinge extremos.
Passo 2
Como
é periódica de período
, basta olhar para o seu comportamento no intervalo fechado e limitado
. A restrição
é contínua, pois
é contínua em toda reta.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Extremo,
é limitada e existem pontos
tais que
Passo 4
Para qualquer
escrevemos
com
e
. Então, pela periodicidade,
Como
fica entre
e
, concluímos que
para todo
. Além disso, em cada classe
a função atinge novamente
e
, garantindo máximo e mínimo global.
Resposta
A função
é limitada, pois
e possui mínimo igual a
e máximo igual a
.