Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} contínuas no ponto a \in X. Prove que são contínuas no ponto a as funções \varphi, \psi: X \rightarrow \mathbb{R}, definidas por \varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\} e \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} para todo x \in X. Além disso, se f e g forem uniformemente contínuas, então \varphi e \psi também são.
Passo 1
O enunciado afirma que f,g\colon X\to\mathbb{R} são contínuas no ponto a\in X e pede para mostrar que \varphi(x)=\max\{f(x),g(x)\} e \psi(x)=\min\{f(x),g(x)\} são contínuas em a. Além disso, se f e g são uniformemente contínuas em X, mostrar que \varphi e \psi também o são. Vamos usar o conteúdo de continuidade e continuidade uniforme de somas, diferenças, múltiplos escalares e da função valor absoluto em \mathbb{R}.
Passo 2
Usamos as identidades bem-conhecidas em \mathbb{R}:
Sabemos que em \mathbb{R} as operações \;(s,t)\mapsto s+t,\;(s,t)\mapsto s-t,\;s\mapsto|s|
e multiplicar por constante são contínuas. Como composições e combinações lineares de funções contínuas em a permanecem contínuas em a, e f e g são contínuas em a, segue que \,x\mapsto f(x)+g(x),\;x\mapsto f(x)-g(x),\;x\mapsto|f(x)-g(x)|
são contínuas em a. Então \varphi e \psi, sendo soma e diferença dessas quantidades vezes \tfrac12, também são contínuas em a.
Passo 4
Para continuidade uniforme, usamos que (1) soma e diferença de funções uniformemente contínuas são uniformemente contínuas (basta tomar \delta comum para cada parcela), (2) a função valor absoluto é Lipschitz de constante 1 e portanto uniformemente contínua, e (3) multiplicar por constante preserva continuidade uniforme. Como \varphi e \psi são formadas por essas operações sobre f e g, se f e g são uniformemente contínuas em X, então \varphi e \psi também o são em X.
Resposta
As funções \varphi(x)=\max\{f(x),g(x)\} e \psi(x)=\min\{f(x),g(x)\} são contínuas no ponto a. Além disso, se f e g são uniformemente contínuas em X, então \varphi e \psi também são uniformemente contínuas em X.