1. Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é dita periódica se existe p \in \mathbb{R}_{+}tal que f(x+p)=f(x) \forall x \in \mathbb{R}. Prove que toda função contínua e periódica é limitada e tem máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e existe um período p>0 tal que
f(x+p)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R},
então f é limitada e atinge valor máximo e mínimo no seu domínio. Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que garante que toda função contínua num intervalo fechado e limitado é limitada e atinge extremos.

Passo 2

Como f é periódica de período p, basta olhar para o seu comportamento no intervalo fechado e limitado [0,p]. A restrição
f|_{[0,p]}\colon[0,p]\to\mathbb{R}
é contínua, pois f é contínua em toda reta.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Extremo, f|_{[0,p]} é limitada e existem pontos x_{\min},x_{\max}\in[0,p] tais que
m = f(x_{\min}) = \min_{[0,p]}f,\qquad M = f(x_{\max}) = \max_{[0,p]}f.

Passo 4

Para qualquer x\in\mathbb{R} escrevemos x = x_0 + k p com k\in\mathbb{Z} e x_0\in[0,p]. Então, pela periodicidade,
f(x) = f(x_0 + kp) = f(x_0).
Como f(x_0) fica entre m e M, concluímos que \;m\le f(x)\le M\; para todo x. Além disso, em cada classe x_0+kp a função atinge novamente m e M, garantindo máximo e mínimo global.

Resposta

A função f é limitada, pois
m \le f(x)\le M\quad\forall x\in\mathbb{R},
e possui mínimo igual a m=f(x_{\min}) e máximo igual a M=f(x_{\max}).

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