Um acidente em uma plataforma de perfuração de petróleo produziu uma mancha circular de petróleo na água. A mancha tem 2,4 centímetros de espessura, e, quando o raio é de 225 metros, o raio da mancha está aumentando à taxa de 15 centímetros por minuto. Qual é a taxa (em metros cúbicos por minuto) com a qual o petróleo está vazando da plataforma?

Passo 1

O enunciado trata de uma mancha circular de óleo com espessura constante, que podemos modelar como um “cilindro” muito raso. Seja r(t) o raio da mancha em metros no instante t e h a espessura constante. Quando r=225 m, sabemos que \frac{dr}{dt}=15 cm/min. O objetivo é usar taxas relacionadas para encontrar \frac{dV}{dt}, a vazão de óleo, em metros cúbicos por minuto.

Passo 2

Definimos o volume da mancha como
V = \pi\,r^2\,h.
Como o enunciado dá h=2{,}4 cm, convertemos para metros:
h = 2{,}4\text{ cm} = 0{,}024\text{ m}.
Também convertemos \frac{dr}{dt}=15 cm/min para metros por minuto:
\frac{dr}{dt} = 15\text{ cm/min} = 0{,}15\text{ m/min}.

Passo 3

Derivamos V em relação a t, lembrando que h é constante:
\frac{dV}{dt} = \pi \,h \,\frac{d}{dt}(r^2) = \pi \,h \cdot 2r\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\,h\,r\,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Substituímos r=225 m, h=0{,}024 m e \frac{dr}{dt}=0{,}15 m/min:
\frac{dV}{dt} = 2\pi \times 0{,}024 \times 225 \times 0{,}15 = (2 \times 0{,}024 \times 225 \times 0{,}15)\,\pi = 1{,}62\,\pi\;\text{m}^3/\text{min}.

Passo 5

Para uma noção numérica,
1{,}62\,\pi\approx 5{,}09\;\text{m}^3/\text{min}.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=1{,}62\,\pi\;\text{m}^3/\text{min}\quad (aprox.; 5{,}09\;\text{m}^3/\text{min}).

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