Um acidente em uma plataforma de perfuração de petróleo produziu uma mancha circular de petróleo na água. A mancha tem 2,4 centímetros de espessura, e, quando o raio é de 225 metros, o raio da mancha está aumentando à taxa de 15 centímetros por minuto. Qual é a taxa (em metros cúbicos por minuto) com a qual o petróleo está vazando da plataforma?
Passo 1
O enunciado trata de uma mancha circular de óleo com espessura constante, que podemos modelar como um “cilindro” muito raso. Seja
o raio da mancha em metros no instante
e
a espessura constante. Quando
m, sabemos que
cm/min. O objetivo é usar taxas relacionadas para encontrar
, a vazão de óleo, em metros cúbicos por minuto.
Passo 2
Definimos o volume da mancha como
Como o enunciado dá
cm, convertemos para metros:
Também convertemos
cm/min para metros por minuto:
Passo 3
Derivamos
em relação a
, lembrando que
é constante:
Passo 4
Substituímos
m,
m e
m/min:
Passo 5
Para uma noção numérica,