Seja
uma função de base radial, isto é
para alguma função
.
Mostre que a função
não é diferenciável no ponto
.
Mostre que a função
Passo 1
No enunciado temos uma função radial f(x,y)=g® com r=
e especificamente f(x,y)=
. O objetivo é mostrar que f não é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade e comparar derivadas direcionais com o produto escalar do gradiente.
Passo 2
Se existisse a diferencial em (0,0), teríamos derivadas parciais bem definidas:
Como f(h,0)=
e f(0,0)=0,
Logo
. De modo análogo
.
Passo 3
Se f fosse diferenciável, o plano tangente em (0,0) seria
pois essas são as derivadas parciais no ponto. Então, a derivada direcional segundo qualquer vetor unitário
deveria ser
Passo 4
Por outro lado, calculemos diretamente a derivada direcional:
pois
. Assim,
para qualquer direção unitária u.
Passo 5
Da comparação ficaria
para todo vetor unitário
, o que é impossível (basta escolher duas direções diferentes para ver a contradição). Portanto f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
A função f(x,y)=\sin(\sqrt{x2+y2}) não é diferenciável no ponto (0,0).