Seja f(x, y) uma função de base radial, isto é f(x, y)=g(raizx^2+y^2) para alguma função g: R R.
Mostre que a função f(x, y)=sin (raizx^2+y^2) não é diferenciável no ponto (x0, y0)=(0,0).

Passo 1

No enunciado temos uma função radial f(x,y)=g® com r= raizx^2+y^2 e especificamente f(x,y)= sin(raizx^2+y^2). O objetivo é mostrar que f não é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade e comparar derivadas direcionais com o produto escalar do gradiente.

Passo 2

Se existisse a diferencial em (0,0), teríamos derivadas parciais bem definidas:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)= sin(|h|) e f(0,0)=0,
sin(|h|)h= sin(h)hto1,&h>0, sin(-h)h=-sin(h)hto1,&h<0
Logo partial f/partial x(0,0)=1. De modo análogo partial f/partial y(0,0)=1.

Passo 3

Se f fosse diferenciável, o plano tangente em (0,0) seria
L(x,y)=x+y,
pois essas são as derivadas parciais no ponto. Então, a derivada direcional segundo qualquer vetor unitário u=(ux,uy) deveria ser
Du f(0,0)=nabla f(0,0)cdot u = ux+uy

Passo 4

Por outro lado, calculemos diretamente a derivada direcional:
Du f(0,0)=limtto0f(tu)-f(0,0)t=limtto0sin(|tu|)t=limtto0sin(t)t=1,
pois |u|=1. Assim, Du f(0,0)=1 para qualquer direção unitária u.

Passo 5

Da comparação ficaria ux+uy=1 para todo vetor unitário (ux,uy), o que é impossível (basta escolher duas direções diferentes para ver a contradição). Portanto f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=\sin(\sqrt{x2+y2}) não é diferenciável no ponto (0,0).

Exercícios relacionados