A função f: R R, dada por f(x)=llx, & se x é racional 0, & se x é irracional éé, é contínua em apenas um ponto.

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida assim:
f: R R éé
O desafio é descobrir em quantos pontos essa função é contínua. Vamos precisar entender o que é continuidade e como testar isso para diferentes valores de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto $ a $ se o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ for igual a $ f(a) $. Ou seja:
a
Vamos aplicar isso para ver em quais pontos $ f(x) $ é contínua.

Passo 3

Vamos testar $ x = 0 $, que é o candidato mais provável para continuidade. Primeiro, calculamos $ f(0) $:
Como 0 é racional, temos $ f(0) = 0 $.
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0:
Se $ x $ for racional, $ f(x) = x $ e o limite é 0.
Se $ x $ for irracional, $ f(x) = 0 $ e o limite também é 0.
Portanto, o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é 0, que é igual a $ f(0) $. Então, $ f(x) $ é contínua em $ x = 0 $.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece para outros pontos $ a \neq 0 $.
Se $ a $ for racional, então $ f(a) = a $.
Se $ a $ for irracional, então $ f(a) = 0 $.
Vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $:
Para $ x $ racional próximo a $ a $, $ f(x) = x $ e o limite seria $ a $.
Para $ x $ irracional próximo a $ a $, $ f(x) = 0 $.
Se $ a \neq 0 $, temos que $ a $ (se $ a $ for racional) ou 0 (se $ a $ for irracional) não coincide com o outro caso. Então, o limite não existe ou não é igual a $ f(a) $.

Resposta

A função $ f(x) $ é contínua apenas no ponto $ x = 0 $.

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