A função f: R R é derivável e inversível, com inversa f^-1=g, sendo f(4)=1 e f^prime(4)=-8.
A reta tangente ao gráfico da função
h(x)=g(x^3-x^2-3) no ponto (2, h(2)) tem equação

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de h(x)=g(x³−x²−3) no ponto x=2. Aqui precisamos usar regra da cadeia para derivada e a relação da derivada de função inversa, além da fórmula da reta tangente ponto-declive.

Passo 2

Primeiro vamos achar h(2). Temos h(2)=g(2³−2²−3)=g(8−4−3)=g(1). Como g é a inversa de f e f(4)=1, então g(1)=4. O ponto de tangência é (2,4).

Passo 3

Para encontrar a derivada de g em 1 usamos a fórmula da derivada da inversa: g’(y)=1/f’(g(y)). Logo, g’(1)=1/f’(g(1))=1/f’(4)=1/(-8)=−1/8.

Passo 4

Agora derivamos h por regra da cadeia. Se u(x)=x³−x²−3 então u’(x)=3x²−2x. Portanto h’(x)=g’(u(x))·u’(x). Em x=2 isso vale h’(2)=g’(1)·(3·2²−2·2)= (−1/8)·(12−4)= (−1/8)·8=−1.

Passo 5

Com o ponto (2,4) e declive m=−1, usamos a forma ponto-declive: y−y₀=m(x−x₀). Isto dá y−4=−1(x−2), que simplificando resulta y=−x+6.

Resposta

y = -x + 6

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