O lim x 1 3 sen(x-1)^2(x^2-5 x+4) tg(x^3-1) é igual a

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite . Estamos em um contexto de limites que envolvem funções trigonométricas próximas de zero, então vamos usar aproximações de Taylor para limxto13,sinl(x-1r)^2l(x^2-5x+4r),tgl(x^3-1r) e quando sin u, além de fatorar o polinômio no denominador.

Passo 2

Primeiro analisamos o numerador. Como xto1, temos u=(x-1)^2to0. Usando sin uapprox u para u pequeno,
sinl((x-1)^2r)approx (x-1)^2
Logo o numerador
3,sinl((x-1)^2r)approx3,(x-1)^2

Passo 3

Agora focamos na parte x^2-5x+4. Podemos fatorar:
x^2-5x+4=(x-1)(x-4)

Passo 4

Quando xto1, o fator (x-4)to-3, então
x^2-5x+4approx-3,(x-1)

Passo 5

Para , note que tg(x^3-1) e quando v=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) temos xto1. Usando para vapprox3(x-1) pequeno,

Passo 6

Multiplicando as aproximações do denominador:

Passo 7

Agora o quociente das aproximações fica
3,(x-1)^2-9,(x-1)^2=-13,

Passo 8

e observe que os (x-1)^2 se cancelam sem deixar indeterminação adicional.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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