A função f: R^2 mapsto R tal que f(x, y)=x^2 y cos (x^3-7 y^5) é contínua? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f:R^2toR dada por f(x,y)=x^2ycos(x^3-7y^5) é contínua. O conteúdo é continuidade de funções em R^n e vamos precisar usar que polinômios, a função cosseno, produto e composição de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

As funções (x,y)mapsto x^2, (x,y)mapsto y e (x,y)mapsto x^3-7y^5 são polinômios em x,y, logo são contínuas em R^2.

Passo 3

A função cos:RtoR é contínua em todo R. Como a composição de funções contínuas é contínua, a função (x,y)mapsto cos(x^3-7y^5) é contínua.

Passo 4

O produto de funções contínuas também é contínuo. Como f(x,y)=x^2cdot ycdot cos(x^3-7y^5) é produto de (x,y)mapsto x^2, (x,y)mapsto y e (x,y)mapsto cos(x^3-7y^5), concluímos que f é contínua em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=x^2ycos(x^3-7y^5) é contínua em todo R^2, pois é obtida por operações (polinômios, cosseno, produto e composição) que preservam a continuidade.

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