Verifique a existência de
lim (x, y) (0,0) sen(x^2-y^2)x^2+y^2
e calcule se o limite existir.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite de f(x,y)= sen(x^2 - y^2)x^2 + y^2 quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar comparar diferentes trajetórias de aproximação.

Passo 2

Uma trajetória natural é seguir o eixo x (ou seja, y=0). Substituindo y=0 temos f(x,0)= sen(x^2)x^2. Quando x→0 usamos a expansão sen(t)sim t para t→0 e obtemos
limxto0 sen(x^2)x^2=limuto0sen(u)u=1,

Passo 3

Outra trajetória é seguir o eixo y (x=0). Então f(0,y)= sen(-y^2)y^2=-sen(y^2)y^2. Usando de novo sen(u)sim u para u→0, chega-se a
limyto0 -sen(y^2)y^2=-1

Passo 4

Como ao longo de y=0 o limite vale 1 e ao longo de x=0 vale -1, o valor depende da trajetória. Portanto o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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