Verifique a existência de
e calcule se o limite existir.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe o limite de f(x,y)=
quando (x,y)→(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar comparar diferentes trajetórias de aproximação.
Passo 2
Uma trajetória natural é seguir o eixo x (ou seja, y=0). Substituindo y=0 temos f(x,0)=
. Quando x→0 usamos a expansão
para t→0 e obtemos
Passo 3
Outra trajetória é seguir o eixo y (x=0). Então f(0,y)=
. Usando de novo
para u→0, chega-se a
Passo 4
Como ao longo de y=0 o limite vale 1 e ao longo de x=0 vale -1, o valor depende da trajetória. Portanto o limite não pode existir de forma única.
Resposta
O limite não existe.