Uma função f: R R satisfaz -x^2+3 x <= f(x) <=-(x+1) cos pi x, para valores de x próximos de 1. Calcule lim x 1 f(x). (Dica: utilize o Teorema do Sanduíche)

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função fcolonRtoR tal que, para x próximo de 1,
-x^2+3x ;<=; f(x);<=; -(x+1)cosl(pi xr)
Queremos limxto1f(x). Vamos usar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche), calculando primeiro os limites das funções que formam as cotas.

Passo 2

Calculamos o limite da cota inferior:
limxto1l(-x^2+3xr) =limxto1l(-1cdot x^2+3xr) =-1cdot1^2+3cdot1 =2

Passo 3

Agora o limite da cota superior:
limxto1l(-(x+1)cos(pi x)r) =-(1+1)cosl(picdot1r) =-2cdotcos(pi) =-2cdot(-1) =2

Passo 4

Como para x próximo de 1 temos
-x^2+3x ;<=; f(x);<=; -(x+1)cos(pi x),
e ambas as cotas têm limite 2 quando xto1, o Teorema do Confronto garante
limxto1f(x)=2

Resposta

2

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