Mostre que o grupo de Klein, G=e, a, b, c, e o grupo aditivo Z4 não são isomorfos. Sugestão: Construa as tábuas, com e como elemento neutro de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo de Klein
;G=e,a,b,c
e o grupo aditivo Z4=0,1,2,3 não são isomorfos.
O conteúdo aqui é teoria de grupos e isomorfismos: um isomorfismo preserva a estrutura de ordem dos elementos, logo basta comparar quantos elementos de cada ordem existem em cada grupo. Para isso, vamos primeiro montar as tábuas de operação de G e de Z4.

Passo 2

Montagem da tábua de G. Como G é o grupo de Klein (isomorfo a Z2timesZ2), todo elemento distinto de e tem ordem 2 e a operação é comutativa. A tábua fica:
c|cccc ast & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e

Passo 3

Montagem da tábua de Z4 (adição módulo 4):
c|cccc + & 0 & 1 & 2 & 3hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 & 3 & 0 2 & 2 & 3 & 0 & 1 3 & 3 & 0 & 1 & 2

Passo 4

Agora contamos as ordens dos elementos em cada grupo:
Em G:
  • ord(e)=1.
  • ord(a)=ord(b)=ord(c)=2.
    Logo há três elementos de ordem 2.
Em Z4:
  • ord(0)=1.
  • ord(2)=2.
  • ord(1)=ord(3)=4.
    Logo há apenas um elemento de ordem 2 e dois elementos de ordem 4.
Como um isomorfismo de grupos preserva ordem de elementos, não pode haver correspondência bijetiva entre conjuntos com números diferentes de elementos de mesma ordem.

Resposta

Os grupos G e Z4 não são isomorfos, pois em G existem três elementos de ordem 2 enquanto em Z4 há apenas um, além de Z4 ter elementos de ordem 4.

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