Mostre que o grupo de Klein,
, e o grupo aditivo
não são isomorfos. Sugestão: Construa as tábuas, com
como elemento neutro de G.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo de Klein
e o grupo aditivo não são isomorfos.
O conteúdo aqui é teoria de grupos e isomorfismos: um isomorfismo preserva a estrutura de ordem dos elementos, logo basta comparar quantos elementos de cada ordem existem em cada grupo. Para isso, vamos primeiro montar as tábuas de operação de e de
.
e o grupo aditivo
O conteúdo aqui é teoria de grupos e isomorfismos: um isomorfismo preserva a estrutura de ordem dos elementos, logo basta comparar quantos elementos de cada ordem existem em cada grupo. Para isso, vamos primeiro montar as tábuas de operação de
Passo 2
Montagem da tábua de
. Como
é o grupo de Klein (isomorfo a
), todo elemento distinto de
tem ordem 2 e a operação é comutativa. A tábua fica:
Passo 3
Montagem da tábua de
(adição módulo 4):
Passo 4
Agora contamos as ordens dos elementos em cada grupo:
Em
:
-
. -
.
Logo há três elementos de ordem 2.
Em
:
-
. -
. -
.
Logo há apenas um elemento de ordem 2 e dois elementos de ordem 4.
Como um isomorfismo de grupos preserva ordem de elementos, não pode haver correspondência bijetiva entre conjuntos com números diferentes de elementos de mesma ordem.
Resposta
Os grupos
e
não são isomorfos, pois em
existem três elementos de ordem 2 enquanto em
há apenas um, além de
ter elementos de ordem 4.