Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existe um número T != 0 tal que se x em A então x + T, x - T in A
(ii) f(x + T) = f(x - T), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função com duas propriedades:
  1. Existe um número tal que, se está no conjunto , então e também estão em .
  2. A função satisfaz para todo em .
O conteúdo aqui é sobre funções periódicas e vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função periódica. Uma função é chamada de periódica se existe um número tal que para todo no domínio de :
Esse número é chamado de período da função.

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades dadas na questão para mostrar que é periódica.
A segunda propriedade nos diz que:
Nosso objetivo é relacionar com .
Vamos manipular essa equação para encontrar uma relação que envolva :
  1. Se substituirmos por , temos:
Então, .
  1. Isso significa que:
Porque se substituirmos por na equação , obtemos:

Passo 4

A equação mostra que a função retorna ao mesmo valor a cada intervalo de . Portanto, é periódica com período .

Resposta

A função é periódica e um período dela é .

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