Uma função
tem as seguintes características:
(i) existe um número
tal que se
então
(ii)
.
Conclua que
é periódica e exiba um período dela.
(i) existe um número
(ii)
Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
com duas propriedades:
- Existe um número
tal que, se está no conjunto , então e também estão em . - A função satisfaz
para todo em .
O conteúdo aqui é sobre funções periódicas e vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função periódica. Uma função
é chamada de periódica se existe um número
tal que para todo
no domínio de
:
Esse número
é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades dadas na questão para mostrar que
é periódica.
A segunda propriedade nos diz que:
Nosso objetivo é relacionar
com
.
Vamos manipular essa equação para encontrar uma relação que envolva
:
- Se substituirmos
por , temos:
Então,
.
- Isso significa que:
Porque se substituirmos
por
na equação
, obtemos:
Passo 4
A equação
mostra que a função retorna ao mesmo valor a cada intervalo de
. Portanto,
é periódica com período
.
Resposta
A função
é periódica e um período dela é
.