Uma função
tem as seguintes características:
(i) existe um número
tal que se
então
(ii)
.
Conclua que
é periódica e exiba um período dela.
(i) existe um número
(ii)
Conclua que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
com duas características específicas. Vamos precisar entender sobre funções periódicas e funções inversas. Nosso objetivo é mostrar que essa função é periódica e encontrar o período dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica se existe um número
tal que, para todo
no domínio da função,
. Esse
é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira característica do enunciado: existe um número
tal que se
está em
, então
e
também estão em
. Isso significa que podemos “andar” pelo domínio da função de passos de tamanho
tanto para a direita quanto para a esquerda.
Passo 4
A segunda característica nos diz que
para todo
em
. Isso relaciona o valor da função em
com o inverso do valor em
.
Passo 5
Vamos aplicar essa relação duas vezes para ver o que acontece. Primeiro, substituímos
por
:
Isso simplifica para:
Mas sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Chegamos a
. Isso significa que a função volta ao valor original após um deslocamento de
.
Passo 7
Portanto,
é um período da função
, já que após esse intervalo a função se repete.
Resposta
A função
é periódica com período
.