A função f(x)=1x^2+2 x+2 possui apenas um valor máximo. Determine-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 2x + 2} $ e precisa encontrar o valor máximo dela. Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre funções quadráticas e como encontrar seus pontos máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: $ x^{2} + 2x + 2 $. Essa expressão é um polinômio de segundo grau, ou seja, uma parábola. Para encontrar o máximo de $ f(x) $, precisamos encontrar o mínimo do denominador, já que $ f(x) $ é inversamente proporcional a ele.

Passo 3

Para encontrar o mínimo de uma parábola do tipo $ ax^{2} + bx + c $, usamos a fórmula do vértice: $ x = -\frac{b}{2a} $. No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 2 $, então:
ax^2 + bx + c

Passo 4

Agora que encontramos o valor de $ x $ que minimiza o denominador, vamos calcular esse mínimo substituindo $ x = -1 $ na expressão do denominador:
x

Passo 5

Com o denominador mínimo igual a 1, podemos encontrar o valor máximo de $ f(x) $ substituindo esse valor na função original:
f(x)

Resposta

O valor máximo da função $ f(x) $ é 1, ocorrendo quando $ x = -1 $.

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