Para a função
faça:
determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade;
determine os candidatos a pontos de inflexão e estude a concavidade;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ e precisa descobrir os possíveis pontos de inflexão dela e analisar onde a função é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a primeira e a segunda derivada. A ideia é encontrar onde a curvatura da função muda, o que indica um ponto de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Isso vai nos ajudar a entender o comportamento da função, como onde ela está crescendo ou decrescendo. Para derivar uma função que é um quociente, usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, $ u = x^{2} + 3 $ e $ v = x^{2} + 1 $. Vamos derivar cada um:
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $, que vai nos ajudar a determinar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, precisamos derivar $ f’(x) $. Vamos usar novamente a regra do quociente:
De novo, seja $ u = -4x $ e $ v = (x^{2} + 1)^{2} $. Derivando cada um:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Explicando melhor, vamos fatorar $ (x^{2} + 1) $:
Então, a segunda derivada fica:
Podemos simplificar tirando um fator comum 4:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos encontrar os valores de $ x $ onde $ f’’(x) = 0 $ ou onde ela não está definida, pois esses são os candidatos a pontos de inflexão.
Igualando a segunda derivada a zero:
O denominador $ (x^{2} + 1)^{3} $ nunca é zero, então a equação $ f’’(x) = 0 $ ocorre quando:
Portanto, os candidatos a pontos de inflexão são $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Passo 5
Vamos agora analisar a concavidade da função em diferentes intervalos de $ x $ usando a segunda derivada. A concavidade depende do sinal de $ f’’(x) $:
- Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
- Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) = \frac{4(3x^{2} -1)}{(x^{2} + 1)^{3}} $.
Como o denominador $ (x^{2} + 1)^{3} $ é sempre positivo, o sinal de $ f’’(x) $ depende apenas do numerador $ 4(3x^{2} -1) $.
-
Para $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3} $:$ 3x^{2} -1 < 0 \implies f’’(x) < 0 $A função é côncava para baixo.
-
Para $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} $:$ 3x^{2} -1 > 0 \implies f’’(x) > 0 $A função é côncava para cima.
Nos pontos $ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $, a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ ocorrem em $ x = \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. A função é côncava para baixo quando $ |x| < \frac{\sqrt{3}}{3} $ e côncava para cima quando $ |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} $.