Faça o esboço do gráfico de f:
f(x)=x^3-x

Passo 1

A função é uma cúbica dada por f(x)=x^3-x. O objetivo é esboçar o gráfico, para isso vamos usar teoria de domínio, zeros, derivadas primeira e segunda para encontrar interceptos, extremos, concavidade e comportamento em infinito.

Passo 2

O domínio de f é R. Os zeros vêm de x^3-x=0, isto é x(x^2-1)=0, logo as raízes são x=-1,0,1. Assim o gráfico passa pelos pontos (-1,0), (0,0) e (1,0).

Passo 3

Para achar extremos locais, calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2-1
Igualando a zero: 3x^2-1=0 x=pmtfrac1raiz3.
Calculando f(pm1/raiz3):
fl(1/raiz3r)=13raiz3-1raiz3=-23raiz3=-2raiz39,
fl(-1/raiz3r)=-13raiz3+1raiz3=23raiz3=2raiz39
Logo há máximo local em x=-1/raiz3 com fapprox0,385 e mínimo local em x=1/raiz3 com fapprox-0,385.

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x)=6x
Assim a concavidade é para baixo quando x<0 e para cima quando x>0. Há ponto de inflexão em x=0, que confirma o cruzamento em (0,0).

Passo 5

Para montar o esboço, lembre que quando xto-infty, f(x)to-infty, e quando xto+infty, f(x)to+infty. Marque os zeros em -1,0,1, o máximo em (-1/raiz3,2raiz3/9), o mínimo em (1/raiz3,-2raiz3/9) e o ponto de inflexão em (0,0). Desenhe a curva em forma de “S” suave ligando esses pontos conforme a concavidade.

Passo 6

Assim obtemos o esboço da cúbica f(x)=x^3-x, passando pelos pontos e respeitando extremos e concavidade descritos.

Resposta

O esboço é uma curva em forma de “S” que: cruza o eixo x em x=-1,0,1; tem máximo local em l(-1/raiz3,2raiz3/9r) e mínimo local em l(1/raiz3,-2raiz3/9r); muda de concavidade em (0,0); tende a -infty quando xto-infty e a +infty quando xto+infty.

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