Para a função f(x)=x^2+3x^2+1 faça:
determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ e a missão é descobrir onde essa função tem pontos críticos e em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender essas mudanças.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Como temos uma razão de polinômios, vamos usar a regra do quociente, que diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
f(x)
Aqui, $ u(x) = x^{2} + 3 $ e $ v(x) = x^{2} + 1 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)
Agora, aplicando a regra do quociente:
v(x)

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
(2x)(x^2 + 1) = 2x^3 + 2x (x^2 + 3)(2x) = 2x^3 + 6x
Então:
f'(x) = 2x^3 + 2x - (2x^3 + 6x)(x^2 + 1)^2 = 2x^3 + 2x - 2x^3 - 6x(x^2 + 1)^2 = -4x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
A derivada não existe quando o denominador é zero, mas $ (x^{2} + 1)^{2} $ nunca é zero porque $ x^{2} + 1 \geq 1 $. Então, só precisamos ver onde $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = -4x(x^2 + 1)^2
Então, o único ponto crítico é em $ x = 0 $.

Passo 6

Agora, vamos analisar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Olha a derivada $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $:
  • Para $ x > 0 f'(x) = -4x(x^2 + 1)^2 é-4x < 0$) e o denominador é positivo, então $ f’(x) < 0 $. Isso significa que a função está decrescendo.
  • Para $ x < 0 x > 0 é-4x > 0$) e o denominador é positivo, então $ f’(x) > 0 $. Isso quer dizer que a função está crescendo.
  • Em $ x = 0 $: A derivada é zero, que é nosso ponto crítico.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ tem um ponto crítico em $ x = 0 $. Ela está crescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $ e decrescendo no intervalo $ (0, +\infty) $.

Exercícios relacionados