Para a função
faça:
determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
determine os pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ e a missão é descobrir onde essa função tem pontos críticos e em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender essas mudanças.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Como temos uma razão de polinômios, vamos usar a regra do quociente, que diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
Aqui, $ u(x) = x^{2} + 3 $ e $ v(x) = x^{2} + 1 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
A derivada não existe quando o denominador é zero, mas $ (x^{2} + 1)^{2} $ nunca é zero porque $ x^{2} + 1 \geq 1 $. Então, só precisamos ver onde $ f’(x) = 0 $:
Então, o único ponto crítico é em $ x = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos analisar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Olha a derivada $ f’(x) = \frac{-4x}{(x^{2} + 1)^{2}} $:
- Para $ x > 0
-4x < 0$) e o denominador é positivo, então $ f’(x) < 0 $. Isso significa que a função está decrescendo. - Para $ x < 0
-4x > 0$) e o denominador é positivo, então $ f’(x) > 0 $. Isso quer dizer que a função está crescendo. - Em $ x = 0 $: A derivada é zero, que é nosso ponto crítico.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1} $ tem um ponto crítico em $ x = 0 $. Ela está crescendo no intervalo $ (-\infty, 0) $ e decrescendo no intervalo $ (0, +\infty) $.