Resolva os limites abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 para a função $ \frac{x{2}+x-2}{x{2}+3x-4} $. Isso envolve conhecimentos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios, que vamos utilizar para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Vamos substituir $ x = 1 $ diretamente na função para ver se conseguimos resolver sem complicações:
Obtemos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Primeiro, o numerador $ x^{2} + x - 2 $:
Procure dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1.
Então:
Agora, o denominador $ x^{2} + 3x - 4 $:
Procure dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então:
Passo 4
Substituindo as fatorações na função original:
Percebemos que $ (x - 1) $ está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que $ x \neq 1 $, o que é válido para o limite):
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ \frac{3}{5} $.