Resolva os limites abaixo:
lim x 1 x^2+x-2x^2+3 x-4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 para a função $ \frac{x{2}+x-2}{x{2}+3x-4} $. Isso envolve conhecimentos de limites e álgebra, especialmente fatoração de polinômios, que vamos utilizar para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Vamos substituir $ x = 1 $ diretamente na função para ver se conseguimos resolver sem complicações:
x = 1
Obtemos uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Primeiro, o numerador $ x^{2} + x - 2 $:
Procure dois números que multiplicados dão -2 e somados dão 1. Esses números são 2 e -1.
Então:
x^2 + x - 2
Agora, o denominador $ x^{2} + 3x - 4 $:
Procure dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na função original:
(x + 2)(x - 1)(x + 4)(x - 1)
Percebemos que $ (x - 1) $ está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que $ x \neq 1 $, o que é válido para o limite):
(x - 1)

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $ na expressão simplificada:
x = 1

Resposta

O limite é $ \frac{3}{5} $.

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