Resolva os limites abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades do limite e as expansões trigonométricas que facilitam o cálculo quando x se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
se aproxima de 0, tanto o numerador
quanto o denominador
se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada
. Isso nos indica que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites desse tipo.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital afirma que se
ou
, então
, desde que o limite da derivada exista.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Passo 6
Agora, observamos que
também se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0, mas sabemos que
. Podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Resposta
O limite
é igual a 6.