Resolva os limites abaixo:
lim x 0 3 x^21-cos x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 3 x^21-cos x. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades do limite e as expansões trigonométricas que facilitam o cálculo quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando x se aproxima de 0, tanto o numerador 3x^2 quanto o denominador 1 - cos x se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada 0/0. Isso nos indica que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites desse tipo.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital afirma que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x), desde que o limite da derivada exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador f(x) = 3x^2: f'(x) = 6x
  • Derivada do denominador g(x) = 1 - cos x: g'(x) = sin x

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
lim x 0 3 x^21-cos x = lim x 0 6xsin x

Passo 6

Agora, observamos que sin x também se aproxima de 0 quando x se aproxima de 0, mas sabemos que limx to 0 sin xx = 1. Podemos reescrever o limite da seguinte forma:
lim x 0 6xsin x = 6 cdot lim x 0 xsin x = 6 cdot 1 = 6

Resposta

O limite lim x 0 3 x^21-cos x é igual a 6.

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