Para a função
calcule:
o quociente de Newton
no ponto
;
o quociente de Newton
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o quociente de Newton para a função $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $ no ponto $ x = 3 $. Isso envolve entender um pouco de derivadas e como usamos o quociente de Newton para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico. Vamos precisar aplicar a fórmula do quociente de Newton e fazer algumas substituições e simplificações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o quociente de Newton. Ele é dado por:
Isso nos ajuda a encontrar a derivada da função, que representa a taxa de variação instantânea da função no ponto $ x $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ f(x+h) $ na fórmula. Nossa função é $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $, então:
Substituindo na fórmula do quociente de Newton:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandimos $ (x+h)^{2} $:
Substituindo de volta:
Distribuindo o 3:
Observamos que $ 3x^{2} $ e $ -3x^{2} $ se cancelam:
Podemos fatorar o h nos termos que têm h:
Dividindo cada termo por h:
A parte $ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} $ pode ser simplificada:
Então:
Passo 5
Agora, queremos calcular isso no ponto $ x = 3 $. Substituímos x por 3:
Se considerarmos que $ h $ tende a 0 (como é comum no cálculo de derivadas), o termo $ 3h $ e $ 3h $ no denominador se tornam negligenciáveis:
Resposta
O quociente de Newton no ponto $ x = 3 $ é $ \frac{53}{3} $.