Para a função f(x)=3 x^2+3x calcule:
o quociente de Newton f(x+h)-f(x)h no ponto x=3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o quociente de Newton para a função $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $ no ponto $ x = 3 $. Isso envolve entender um pouco de derivadas e como usamos o quociente de Newton para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico. Vamos precisar aplicar a fórmula do quociente de Newton e fazer algumas substituições e simplificações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o quociente de Newton. Ele é dado por:
f(x+h) - f(x)h
Isso nos ajuda a encontrar a derivada da função, que representa a taxa de variação instantânea da função no ponto $ x $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ f(x+h) $ na fórmula. Nossa função é $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $, então:
f(x)
Substituindo na fórmula do quociente de Newton:
f(x+h)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandimos $ (x+h)^{2} $:
(x+h)^2
Substituindo de volta:
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Distribuindo o 3:
3(x^2 + 2xh + h^2) + 3x+h - 3x^2 - 3xh
Observamos que $ 3x^{2} $ e $ -3x^{2} $ se cancelam:
3x^2 + 6xh + 3h^2 + 3x+h - 3x^2 - 3xh
Podemos fatorar o h nos termos que têm h:
3x^2
Dividindo cada termo por h:
-3x^2
A parte $ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} $ pode ser simplificada:
6xh + 3h^2 + 3x+h - 3xh
Então:
h(6x + 3h) + 3(1x+h - 1x)h

Passo 5

Agora, queremos calcular isso no ponto $ x = 3 $. Substituímos x por 3:
x = 3
Se considerarmos que $ h $ tende a 0 (como é comum no cálculo de derivadas), o termo $ 3h $ e $ 3h $ no denominador se tornam negligenciáveis:
6(3) + 3h - 33(3+h) = 18 + 3h - 39 + 3h

Resposta

O quociente de Newton no ponto $ x = 3 $ é $ \frac{53}{3} $.

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