A função f(x)=x^{3} é:
(a) descontinua em x=0
(b) contínua em \mathbb{R}
(c) contínua somente para x>0
(d) não definida em x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{3} e pede qual alternativa é verdadeira entre:
(a) descontinua em x=0
(b) contínua em \mathbb{R}
(c) contínua somente para x>0
(d) não definida em x=0
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula da função é \,f(x)=x^{3}\,.
  • As alternativas tratam de continuidade e existência de valor em x=0.

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicação didática):
  • Dizemos que f é contínua em x=a se duas coisas acontecem:
    1. f está definida em x=a, isto é, f(a) existe.
    2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
Em símbolos:
\text{\(f\) contínua em \(a\)}\quad\Longleftrightarrow\quad \left(\text{\(f(a)\) existe}\right)\ \text{e}\ \left(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\right).í
Para mostrar que f é contínua em todo \mathbb{R} precisamos mostrar isso para um a arbitrário (qualquer a\in\mathbb{R}).

Passo 3

Observação sobre a função dada e ferramentas que vamos usar:
  • A função f(x)=x^{3} é um polinômio. Intuitivamente, polinômios não “quebram” nem têm buracos; eles são definidos para todo real e tendem a variar de forma suave. Formalmente, usaremos propriedades básicas de limites: limites preservam soma e produto, e \lim_{x\to a} x = a.
  • Vou provar diretamente que \lim_{x\to a} x^{3}=a^{3} para qualquer a\in\mathbb{R}. Isso dá \lim_{x\to a} f(x)=f(a), provando continuidade em a.

Passo 4

Cálculo do limite \displaystyle \lim_{x\to a} x^{3} (passo a passo algébrico):
  • Considere a diferença x^{3}-a^{3}. Ela pode ser fatorada pela identidade de soma/diferença de cubos:
x^{3}-a^{3}=(x-a)\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr).
  • Então
\lim_{x\to a}\bigl(x^{3}-a^{3}\bigr) =\lim_{x\to a}\bigl(x-a\bigr)\cdot\lim_{x\to a}\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr),
usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).
  • Agora \displaystyle \lim_{x\to a}(x-a)=0. E
\lim_{x\to a}\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr) = a^{2}+a\cdot a + a^{2}=3a^{2},
pois \lim_{x\to a} x = a, então \lim_{x\to a} x^{2}=a^{2} e \lim_{x\to a} ax = a\cdot a.
  • Portanto
\lim_{x\to a}\bigl(x^{3}-a^{3}\bigr)=0\cdot 3a^{2}=0.
  • Isso implica
\lim_{x\to a} x^{3}=a^{3}.

Passo 5

Concluir continuidade em um ponto genérico e, então, em todo \mathbb{R}:
  • Pelo Passo 4, para qualquer a\in\mathbb{R} tem-se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=a^{3}.
  • Além disso, f(a)=a^{3} está bem definido para todo a\in\mathbb{R} (não há divisão por zero nem raiz de índice par com negativo — é só um polinômio).
  • Logo \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a) para todo a\in\mathbb{R}. Segundo a definição do Passo 2, isso significa que f é contínua em todo ponto real.
  • Em particular, f é definida em x=0 e contínua em x=0 (pois f(0)=0 e \lim_{x\to 0} x^{3}=0).

Passo 6

Verificação das alternativas:
  • (a) "descontinua em x=0" — falsa, porque mostramos \lim_{x\to 0} x^{3}=0=f(0).
  • (b) "contínua em \mathbb{R}" — verdadeira, vimos que para qualquer a\in\mathbb{R} vale \lim_{x\to a} x^{3}=a^{3}=f(a).
  • (c) "contínua somente para x>0" — falsa, pois é contínua também para x\le 0.
  • (d) "não definida em x=0" — falsa, pois f(0)=0^{3}=0 existe.

Resposta

(b)

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