A função
é:
(a) descontinua em
(b) contínua em
(c) contínua somente para
(d) não definida em
(a) descontinua em
(b) contínua em
(c) contínua somente para
(d) não definida em
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede qual alternativa é verdadeira entre:
(a) descontinua em
(b) contínua em
(c) contínua somente para
(d) não definida em
(a) descontinua em
(b) contínua em
(c) contínua somente para
(d) não definida em
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula da função é
. - As alternativas tratam de continuidade e existência de valor em
.
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (explicação didática):
- Dizemos que
é contínua em se duas coisas acontecem: -
está definida em , isto é, existe. -
existe e é igual a .
-
Em símbolos:
Para mostrar que
é contínua em todo
precisamos mostrar isso para um
arbitrário (qualquer
).
Passo 3
Observação sobre a função dada e ferramentas que vamos usar:
- A função
é um polinômio. Intuitivamente, polinômios não “quebram” nem têm buracos; eles são definidos para todo real e tendem a variar de forma suave. Formalmente, usaremos propriedades básicas de limites: limites preservam soma e produto, e . - Vou provar diretamente que
para qualquer . Isso dá , provando continuidade em .
Passo 4
Cálculo do limite
(passo a passo algébrico):
- Considere a diferença
. Ela pode ser fatorada pela identidade de soma/diferença de cubos:
- Então
usando que o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).
- Agora
. E
pois
, então
e
.
- Portanto
- Isso implica
Passo 5
Concluir continuidade em um ponto genérico e, então, em todo
:
- Pelo Passo 4, para qualquer
tem-se . - Além disso,
está bem definido para todo (não há divisão por zero nem raiz de índice par com negativo — é só um polinômio). - Logo
para todo . Segundo a definição do Passo 2, isso significa que é contínua em todo ponto real. - Em particular,
é definida em e contínua em (pois e ).
Passo 6
Verificação das alternativas:
- (a) "descontinua em
" — falsa, porque mostramos . - (b) "contínua em
" — verdadeira, vimos que para qualquer vale . - (c) "contínua somente para
" — falsa, pois é contínua também para . - (d) "não definida em
" — falsa, pois existe.
Resposta
(b)