O domínio de f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}} é o conjunto dos x \in \mathbb{R} tais que:
(a) x>1,
(b) x \geqslant 1,
(c) x \neq 1 ;
(d) x<1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}. As alternativas oferecidas são:
(a) x>1, (b) x\geqslant 1, (c) x\neq 1, (d) x<1.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{x-1}.
  • A raiz quadrada e a divisão por um número estão presentes simultaneamente na expressão.

Passo 2

Relembrando o que significa a raiz quadrada no conjunto dos reais: \sqrt{y} está definida como número real apenas quando o radicando satisfaz y\geqslant 0. Aqui o radicando é x-1. Portanto, para que a raiz seja um número real precisamos ter
x-1 \geqslant 0,
o que é equivalente a
x \geqslant 1.
Isto é, a condição mínima para obter um valor real de \sqrt{x-1} é x\geqslant 1.

Passo 3

Agora consideremos a divisão: a expressão é \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}. Para que a razão faça sentido em \mathbb{R} é preciso também que o denominador seja diferente de zero, ou seja,
\sqrt{x-1} \neq 0.
A raiz quadrada só é zero quando o radicando é zero, isto é quando x-1=0, ou seja x=1. Portanto a condição de denominador não nulo impõe
x \neq 1.

Passo 4

Agora juntamos as duas condições obtidas:
  • da raiz: x \geqslant 1;
  • do denominador: x \neq 1.
Combinando-as obtemos que os x admissíveis satisfazem
x \geqslant 1 \quad\text{e}\quad x \neq 1,
o que é exatamente a desigualdade
x>1.

Passo 5

Vamos checar com exemplos simples para ficar bem claro:
  • Se x=2 então \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1 e f(2)=1/1=1. OK.
  • Se x=1 então \sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0 e \dfrac{1}{0} é indefinido (proibido). Logo x=1 não pertence ao domínio.
  • Se x=0 então x-1=-1 e \sqrt{-1} não é real, logo x=0 não pertence ao domínio.
Portanto as alternativas (b), (c) e (d) estão incorretas: (b) inclui x=1 que não vale; (c) permite x<1 com radicando negativo; (d) é totalmente fora por radicando negativo.

Resposta

(a) x>1

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