Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L então:
(a) f(a) sempre existe
(b) f(a)=L
(c) o limite depende de f(a)
(d) O limite independe de f(a)

Passo 1

O enunciado dá a informação
\lim_{x\to a} f(x)=L
e pergunta qual das alternativas abaixo é verdadeira:
(a) f(a) sempre existe
(b) f(a)=L
(c) o limite depende de f(a)
(d) o limite independe de f(a)
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dado: a existência do limite \lim_{x\to a} f(x) e o seu valor L.
  • Pergunta: entre as alternativas (a)–(d), qual é (são) verdadeira(s) sobre a relação entre o limite e o valor f(a).

Passo 2

Definição precisa de limite (a ferramenta que vamos usar). Dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, vale
|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras simples: isso significa que os valores de f(x) ficam tão próximos de L quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente perto de a, mas com a condição importante x\neq a (essa condição aparece como 0<|x-a|). Repare que f(a) não aparece em nenhuma parte desta definição.

Passo 3

Mostrar que (a) é falsa: " f(a)\) sempre existe". A definição de limite não exige que \(f\) esteja definida em \(a\); exige apenas comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(a\) e \(x\neq a\). Exemplo concreto e simples (muito útil para a prova): Defina \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] \text{não definido}, & x=1. \end{cases}
Para x\neq 1\] simplifica-se \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1, então
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x+1)=2.
Aqui o limite existe e vale 2, mas f(1) nem sequer está definido. Logo (a) é falsa.]

Passo 4

Mostrar que (b) é falsa: " f(a)=L\)". Mesmo se \(f(a)\) existir, pode ser um valor diferente de \(L\). Use uma pequena modificação do exemplo anterior: defina \[g(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq 1,\\[6pt] 5, & x=1. \end{cases}
Para x\neq 1\] continua valendo \(g(x)=x+1, então
\lim_{x\to 1} g(x)=2,
mas g(1)=5\neq 2. Assim ter \lim_{x\to a} f(x)=L não obriga f(a)=L. A igualdade f(a)=L acontece exatamente quando a função é contínua em a, mas a existência do limite por si só não garante continuidade.]

Passo 5

Mostrar que (c) é falsa e (d) é verdadeira: "o limite (in)depende de f(a)". A definição do limite deixou claro que a condição usa apenas valores de f(x) para x próximos de a com x\neq a. Para formalizar a independência, considere duas funções f e h tais que
f(x)=h(x)\quad\text{para todo }x\neq a,
mas possivelmente f(a)\neq h(a) ou um deles nem esteja definido em a. Se \lim_{x\to a} f(x)=L, então, por definição, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon. Como h(x)=f(x) para x\neq a, as mesmas desigualdades valem para h; portanto \lim_{x\to a} h(x)=L também. Isso mostra que alterar o valor em a (ou deixar f(a) indefinido) não afeta o valor do limite. Logo a afirmação (c) "o limite depende de f(a)" é falsa e a (d) "O limite independe de f(a)" é verdadeira.

Passo 6

Resumo final e motivação para a prova: a razão prática é lembrar sempre da condição 0<|x-a|<\delta na definição de limite — o ponto x=a é excluído do teste que garante proximidade com L. Portanto, na hora da prova, se te perguntarem se a existência do limite implica algo sobre f(a), lembre-se: não implica nada; f(a) pode faltar ou ser qualquer número sem alterar o limite.

Resposta

(d)

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