Se
então:
(a)
sempre existe
(b)
(c) o limite depende de f(a)
(d) O limite independe de
(a)
(b)
(c) o limite depende de f(a)
(d) O limite independe de
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pergunta qual das alternativas abaixo é verdadeira:
(a) sempre existe
(b)
(c) o limite depende de
(d) o limite independe de
(a)
(b)
(c) o limite depende de
(d) o limite independe de
Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dado: a existência do limite
e o seu valor . - Pergunta: entre as alternativas (a)–(d), qual é (são) verdadeira(s) sobre a relação entre o limite e o valor
.
Passo 2
Definição precisa de limite (a ferramenta que vamos usar). Dizemos que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
Explicando em palavras simples: isso significa que os valores de
ficam tão próximos de
quanto quisermos, desde que
esteja suficientemente perto de
, mas com a condição importante
(essa condição aparece como
). Repare que
não aparece em nenhuma parte desta definição.
Passo 3
Mostrar que (a) é falsa: "
Para
, então
Aqui o limite existe e vale
, mas
nem sequer está definido. Logo (a) é falsa.]
Passo 4
Mostrar que (b) é falsa: "
Para
, então
mas
. Assim ter
não obriga
. A igualdade
acontece exatamente quando a função é contínua em
, mas a existência do limite por si só não garante continuidade.]
Passo 5
Mostrar que (c) é falsa e (d) é verdadeira: "o limite (in)depende de
". A definição do limite deixou claro que a condição usa apenas valores de
para
próximos de
com
. Para formalizar a independência, considere duas funções
e
tais que
mas possivelmente
ou um deles nem esteja definido em
. Se
, então, por definição, para todo
existe
tal que
implica
. Como
para
, as mesmas desigualdades valem para
; portanto
também. Isso mostra que alterar o valor em
(ou deixar
indefinido) não afeta o valor do limite. Logo a afirmação (c) "o limite depende de
" é falsa e a (d) "O limite independe de
" é verdadeira.
Passo 6
Resumo final e motivação para a prova: a razão prática é lembrar sempre da condição
na definição de limite — o ponto
é excluído do teste que garante proximidade com
. Portanto, na hora da prova, se te perguntarem se a existência do limite implica algo sobre
, lembre-se: não implica nada;
pode faltar ou ser qualquer número sem alterar o limite.
Resposta
(d)