A temperatura de um objeto esfriando segue o modelo
, onde
é a temperatura em graus Celsius e
é o tempo em minutos:
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante
minutos?
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de -4 graus por minuto?
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de -4 graus por minuto?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura do objeto em função do tempo:
onde
é a temperatura em graus Celsius e
é o tempo em minutos. As perguntas são:
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante minutos?
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de graus por minuto?
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de
Informações relevantes dadas:
- Fórmula da temperatura
(peguei isso do enunciado). - Queremos a taxa de variação de
em função do tempo, isto é, a derivada . - Unidades: temperatura em
, tempo em minutos, então a taxa terá unidade .
Passo 2
O que significa “taxa de resfriamento”?
- Matematicamente é a derivada da função temperatura em relação ao tempo, chamada
. - Fisicamente:
diz quantos graus a temperatura muda por minuto. Se for negativo, o objeto está esfriando; o valor absoluto é a velocidade do resfriamento.
Regra que vamos usar (uma mini-aula rápida): derivada de uma exponencial multiplicada por constante. Se temos uma função do tipo
onde
,
,
são constantes, então a derivada é
Explicando as partes:
é a amplitude inicial do termo exponencial,
controla a rapidez da variação exponencial (se
, decai), e
é uma constante que some (derivada de
é zero). A ideia vem da regra da cadeia: derivada de
é
.
No nosso caso
,
e
.
Passo 3
Calcular
aplicando a fórmula acima:
Multiplicando
por
dá
. Então
Isso já é a expressão que nos diz a taxa de variação da temperatura em qualquer instante
. Lembre-se: a unidade é
.
Passo 4
(a) Avaliar a taxa no instante
minutos. Substituindo na expressão:
Agora uma aproximação numérica prática (útil para prova):
. Multiplicando:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
Interpretação: no instante
min o objeto está perdendo temperatura a cerca de
por minuto.
Passo 5
(b) Queremos o tempo
tal que a taxa seja
. Montamos a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora aplicamos logaritmo natural para “desfazer” o exponencial. Lembre que
. Tomando
nos dois lados:
Usar a identidade
, então
Como
, obtemos
Arredondando:
Interpretação: por volta de
minutos após o início, a taxa de resfriamento será
.
Passo 6
Resumo rápido e encorajamento: derivada da exponencial é só multiplicar pela constante que vem do expoente — isso torna esse tipo de problema bem direto. Você já conseguiu duas coisas importantes: (i) a expressão geral da taxa
, (ii) aplicou para obter valores numéricos e resolveu uma equação exponencial com log. Tá indo bem — respira, repete os passos e esses problemas ficam menores!
Resposta
(a)
(b)
(b)