A temperatura de um objeto esfriando segue o modelo T(t)=80 e^{-0,1 t}+20, onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo em minutos:
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante t=10 minutos?
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de -4 graus por minuto?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do objeto em função do tempo:
T(t)=80\,e^{-0,1t}+20,
onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo em minutos. As perguntas são:
(a) Qual é a taxa de resfriamento no instante t=10 minutos?
(b) Após quanto tempo a taxa de resfriamento será de -4 graus por minuto?
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula da temperatura T(t) (peguei isso do enunciado).
  • Queremos a taxa de variação de T em função do tempo, isto é, a derivada T'(t).
  • Unidades: temperatura em ^\circ\mathrm{C}, tempo em minutos, então a taxa terá unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}.

Passo 2

O que significa “taxa de resfriamento”?
  • Matematicamente é a derivada da função temperatura em relação ao tempo, chamada T'(t).
  • Fisicamente: T'(t) diz quantos graus a temperatura muda por minuto. Se T'(t) for negativo, o objeto está esfriando; o valor absoluto |T'(t)| é a velocidade do resfriamento.
Regra que vamos usar (uma mini-aula rápida): derivada de uma exponencial multiplicada por constante. Se temos uma função do tipo
T(t)=A\,e^{k t}+C,
onde A, k, C são constantes, então a derivada é
T'(t)=A\cdot k\,e^{k t}.
Explicando as partes: A é a amplitude inicial do termo exponencial, k controla a rapidez da variação exponencial (se k<0, decai), e C é uma constante que some (derivada de C é zero). A ideia vem da regra da cadeia: derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}.
No nosso caso A=80, k=-0,1 e C=20.

Passo 3

Calcular T'(t) aplicando a fórmula acima:
T'(t)=80\cdot(-0,1)\,e^{-0,1t}.
Multiplicando 80 por -0,1 -8. Então
T'(t)=-8\,e^{-0,1t}.
Isso já é a expressão que nos diz a taxa de variação da temperatura em qualquer instante t. Lembre-se: a unidade é ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}.

Passo 4

(a) Avaliar a taxa no instante t=10 minutos. Substituindo na expressão:
T'(10)=-8\,e^{-0,1\cdot 10}=-8\,e^{-1}.
Agora uma aproximação numérica prática (útil para prova): e^{-1}=1/e\approx0,367879. Multiplicando:
-8\cdot 0,367879\approx -2,9430.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
T'(10)\approx -2,94\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}.
Interpretação: no instante 10 min o objeto está perdendo temperatura a cerca de 2,94\\ ^\circ\mathrm{C} por minuto.

Passo 5

(b) Queremos o tempo t tal que a taxa seja -4\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}. Montamos a equação:
T'(t)=-8\,e^{-0,1t}=-4.
Dividindo ambos os lados por -8:
e^{-0,1t}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}.
Agora aplicamos logaritmo natural para “desfazer” o exponencial. Lembre que \ln(e^{x})=x. Tomando \ln nos dois lados:
-0,1t=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Usar a identidade \ln\!(1/2)=-\ln 2, então
-0,1t=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0,1}.
Como \ln 2\approx 0,693147, obtemos
t\approx\frac{0,693147}{0,1}=6,93147\\ \text{min}.
Arredondando:
t\approx 6,93\\ \text{minutos}.
Interpretação: por volta de 6,93 minutos após o início, a taxa de resfriamento será -4\\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}.

Passo 6

Resumo rápido e encorajamento: derivada da exponencial é só multiplicar pela constante que vem do expoente — isso torna esse tipo de problema bem direto. Você já conseguiu duas coisas importantes: (i) a expressão geral da taxa T'(t)=-8 e^{-0,1t}, (ii) aplicou para obter valores numéricos e resolveu uma equação exponencial com log. Tá indo bem — respira, repete os passos e esses problemas ficam menores!

Resposta

(a) -8\,e^{-1}\approx -2,94\\ \!^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}
(b) t=10\ln 2\approx 6,93\\ \text{min}

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