Marque a alternativa correta:
Considere o problema de valor inicial x y^prime-y=x^2 cos x. Quantas soluções existem passando pelo ponto (0,0) ?
(a) nenhuma solução
(b) uma solução
© duas soluções
(d) infinitas soluções

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas soluções da equação diferencial x y' - y = x^2,cos x passam pelo ponto (0,0). É um problema de valor inicial num ponto singular ( x=0) e a equação é linear de primeira ordem.

Passo 2

Para xneq0, vamos pôr na forma padrão y' - 1x,y = x,cos x O fator integrante é mu(x)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=1x

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x)=1/x obtemos
1x,y' - 1x^2,y = cos xLongrightarrowddxl( yxr)=cos x

Passo 4

Integrando,
yx = integralcos x,dx + C = sin x + C Longrightarrow y(x)=x,sin x + C,x, xneq0

Passo 5

Para impor y(0)=0, estendemos a solução por continuidade em x=0. Note que
y(x)=xsin x + Cximplies y(0)=0 para qualquer C,
e a derivada em zero é
y'(0)=limhto0y(h)-y(0)h=limhto0(sin h + C)=C

Passo 6

Como a equação original em x=0 vira 0cdot y'(0)-y(0)=0, que é satisfeita para todo C, temos uma família uniparamétrica de soluções que passam por (0,0).

Resposta

infinitas soluções

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