Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos o comportamento da razão quando
tende a .
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para limites quando
de uma função racional (uma razão de polinômios), o comportamento é governado pelos termos de maior grau (os “termos dominantes”).
- Se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a razão diverge para
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais.
- Se o grau do numerador for menor, o limite é
.
Aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
, então espera-se que o limite seja infinito (não nulo). Resta determinar o sinal (positivo ou negativo) dessa divergência.
Passo 3
Vamos transformar a expressão para ver claramente o crescimento. Divido numerador e denominador por
(escolhi
porque é a maior potência que aparece no denominador; isso deixa a expressão com termos que têm limites fáceis quando
):
Passo 4
Agora analiso os termos que dependem de
quando
:
Esses fatos vêm do princípio simples de que se o denominador cresce em módulo sem limite, a fração vai a zero. Assim, na expressão acima:
- o denominador tende a
porque ; - o numerador tende a
(pois os outros dois termos vão a zero), e quando temos .
Passo 5
Concluo o sinal e o valor do limite: o numerador cresce como
, que é sempre não negativo e, para
, tende a
. O denominador tende para
. Portanto a razão tende para
.
Uma observação alternativa curta (mesma ideia, outra visão): como o grau do numerador excede o do denominador em
, a expressão cresce ao modo de
para grandes
; como
e
quando
, o limite é
.