\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}+2 x-10}{x^{2}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{4}+2x-10}{x^{2}-3x}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{4}+2x-10.
  • Denominador: x^{2}-3x.
  • Queremos o comportamento da razão quando x tende a -\infty.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para limites quando x\to\pm\infty de uma função racional (uma razão de polinômios), o comportamento é governado pelos termos de maior grau (os “termos dominantes”).
  • Se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, a razão diverge para \pm\infty.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes principais.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.
Aqui o grau do numerador é 4 e o do denominador é 2, então espera-se que o limite seja infinito (não nulo). Resta determinar o sinal (positivo ou negativo) dessa divergência.

Passo 3

Vamos transformar a expressão para ver claramente o crescimento. Divido numerador e denominador por x^{2} (escolhi x^{2} porque é a maior potência que aparece no denominador; isso deixa a expressão com termos que têm limites fáceis quando x\to-\infty):
\frac{x^{4}+2x-10}{x^{2}-3x} = \frac{\displaystyle\frac{x^{4}}{x^{2}}+\frac{2x}{x^{2}}-\frac{10}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{3x}{x^{2}}} = \frac{x^{2}+\dfrac{2}{x}-\dfrac{10}{x^{2}}}{1-\dfrac{3}{x}}.

Passo 4

Agora analiso os termos que dependem de x quando x\to -\infty:
\frac{2}{x}\to 0,\qquad \frac{10}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{3}{x}\to 0.
Esses fatos vêm do princípio simples de que se o denominador cresce em módulo sem limite, a fração vai a zero. Assim, na expressão acima:
  • o denominador tende a 1 porque 1-\dfrac{3}{x}\to 1;
  • o numerador tende a x^{2} (pois os outros dois termos vão a zero), e quando x\to -\infty temos x^{2}\to +\infty.

Passo 5

Concluo o sinal e o valor do limite: o numerador cresce como x^{2}, que é sempre não negativo e, para x\to -\infty, tende a +\infty. O denominador tende para 1>0. Portanto a razão tende para +\infty.
Uma observação alternativa curta (mesma ideia, outra visão): como o grau do numerador excede o do denominador em 2, a expressão cresce ao modo de x^{2} para grandes |x|; como x^{2}\ge 0 e \to+\infty quando x\to-\infty, o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados