Com a função f(x)=\frac{x^{3}-2 x+1}{x^{2}-1} calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{x^{2}-1}
e pede o limite à esquerda
\lim_{x\to1^{-}}f(x).
O conteúdo aqui é limite de função racional com forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos resolver fazendo fatoração e simplificação.

Passo 2

Observamos que o numerador zera em x=1, logo (x-1) é fator. Fazendo divisão sintética ou fatoração direta, temos
x^{3}-2x+1=(x-1)(x^{2}+x-1).
O denominador pode ser escrito como
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 3

Para x\neq\pm1, podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo a forma simplificada
f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{x+1}.

Passo 4

Agora o limite não é mais indeterminado, basta substituir x=1 na expressão simplificada:
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}+x-1}{x+1} =\frac{1^{2}+1-1}{1+1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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