Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=x y z+z \operatorname{sen}(x y z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w(x,y,z)=x\,y\,z \;+\; z\,\sin\bigl(x\,y\,z\bigr).
Para isso vamos aplicar a definição de derivada parcial (tratando as outras variáveis como constantes) e usar as regras de derivação de produto e de cadeia.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}:
– O termo x\,y\,z em relação a x gera
\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,z)=y\,z.
– O termo z\,\sin(x\,y\,z) em relação a x trata z como constante e usa cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[z\,\sin(x\,y\,z)\bigr] = z\;\cos(x\,y\,z)\;\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,z) = z\;\cos(x\,y\,z)\;(y\,z) = y\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z).
Somando os dois resultados,
\frac{\partial w}{\partial x} = y\,z \;+\; y\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z).

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}:
É análogo ao caso de x, trocando x por y.
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z)=x\,z.
\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl[z\,\sin(x\,y\,z)\bigr] = z\;\cos(x\,y\,z)\;\frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z) = z\;\cos(x\,y\,z)\;(x\,z) = x\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z).
Logo,
\frac{\partial w}{\partial y} = x\,z \;+\; x\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z).

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}:
Aqui z aparece em dois produtos, então usamos produto e cadeia.
– Para x\,y\,z:
\frac{\partial}{\partial z}(x\,y\,z)=x\,y.
– Para z\,\sin(x\,y\,z), usando produto u=z e v=\sin(x\,y\,z):
\frac{\partial}{\partial z}(z\,v) =1\cdot v + z\cdot \frac{\partial v}{\partial z} =\sin(x\,y\,z) + z\;\cos(x\,y\,z)\;\frac{\partial}{\partial z}(x\,y\,z) =\sin(x\,y\,z) + z\;\cos(x\,y\,z)\;(x\,y).
Somando,
\frac{\partial w}{\partial z} = x\,y \;+\; \sin(x\,y\,z)\;+\; x\,y\,z\,\cos(x\,y\,z).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = y\,z + y\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z),
\frac{\partial w}{\partial y} = x\,z + x\,z^{2}\,\cos(x\,y\,z),
\frac{\partial w}{\partial z} = x\,y + \sin(x\,y\,z) + x\,y\,z\,\cos(x\,y\,z).

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