Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=e^{x y z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w = e^{x y z^{2}}.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial usando a regra da cadeia: para cada variável (digamos u), tratamos as demais como constantes e aplicamos
\frac{d}{du}e^{u} = e^{u}.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, definimos
u(x,y,z) = x\,y\,z^{2},
então
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{d}{du}e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{u}\,(y\,z^{2}) = y\,z^{2}\,e^{x y z^{2}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}, usamos o mesmo u. Como x e z são constantes,
\frac{\partial u}{\partial y} = x\,z^{2},
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\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\,(x\,z^{2}) = x\,z^{2}\,e^{x y z^{2}}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}, novamente com u = x\,y\,z^{2}, temos
\frac{\partial u}{\partial z} = x\,y\,(2\,z) = 2\,x\,y\,z,
e daí
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\,(2\,x\,y\,z) = 2\,x\,y\,z\,e^{x y z^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = y\,z^{2}\,e^{x y z^{2}}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = x\,z^{2}\,e^{x y z^{2}}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = 2\,x\,y\,z\,e^{x y z^{2}}.

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