Esboce o gráfico das funções quadráticas abaixo indicando onde cruza o eixo x (raízes) e o eixo y.
y=x^{2}-(5 / 3) x+4 / 9

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática
y = x^{2} - \frac{5}{3}x + \frac{4}{9}
indicando onde ela cruza o eixo x (ou seja, as raízes) e onde cruza o eixo y (o intercepto em y).
Informações dadas: a expressão algébrica da função está completa; não há figura fornecida.

Passo 2

O que precisamos achar e por que:
  • “Raízes” são os valores de x para os quais y=0. Graficamente, são os pontos onde a parábola corta o eixo x.
  • "Intercepto em y" é o valor de y quando x=0; é o ponto onde a parábola corta o eixo y.
    Para encontrar as raízes usaremos a fórmula quadrática. Para traçar um esboço bom também é útil achar o vértice e a concavidade (abre para cima ou para baixo).

Passo 3

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^{2}+bx+c:
a = 1,\qquad b = -\frac{5}{3},\qquad c = \frac{4}{9}.
Comentário rápido e amigo: a determina se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0). Aqui a=1>0, então a parábola abre para cima.

Passo 4

Para saber se há raízes reais e quantas, calculamos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac.
Substituindo:
b^{2} = \left(-\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{25}{9},
4ac = 4\cdot 1\cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{9}.
Logo
\Delta = \frac{25}{9} - \frac{16}{9} = \frac{9}{9} = 1.
Interpretação: \Delta=1>0 significa que há duas raízes reais distintas.

Passo 5

Usamos a fórmula quadrática para as raízes:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
Calculando passo a passo:
-b = -\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{5}{3}, \qquad \sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1, \qquad 2a = 2\cdot 1 = 2.
Portanto
x = \frac{\frac{5}{3} \pm 1}{2}.
Fazendo as duas possibilidades:
  1. Com o sinal +:
x = \frac{\frac{5}{3} + 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}{2} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.
  1. Com o sinal -:
x = \frac{\frac{5}{3} - 1}{2} = \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
Logo as raízes são x=\frac{1}{3} e x=\frac{4}{3}. Graficamente, os pontos de corte com o eixo x são \left(\frac{1}{3},0\right) e \left(\frac{4}{3},0\right).

Passo 6

Intercepto em y: basta pôr x=0 na função. Como c=\frac{4}{9},
y(0)=\frac{4}{9}.
O ponto de interseção com o eixo y é \left(0,\frac{4}{9}\right).

Passo 7

Para esboçar bem, encontramos também o vértice e a linha de simetria.
A abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{5}{3}}{2\cdot 1} = \frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{6}.
Para a ordenada do vértice, substituímos x_{v} na função:
y\!\left(\frac{5}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} - \frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6} + \frac{4}{9}.
Calculemos com denominador comum 36:
\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{36},\qquad \frac{5}{3}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{18} = \frac{50}{36},\qquad \frac{4}{9} = \frac{16}{36}.
Agora
y\!\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{25}{36} - \frac{50}{36} + \frac{16}{36} = \frac{25-50+16}{36} = \frac{-9}{36} = -\frac{1}{4}.
Então o vértice é \left(\frac{5}{6}, -\frac{1}{4}\right). A linha de simetria é x=\frac{5}{6}.
Comentário amigo: o vértice tem y=-\tfrac{1}{4}, que é negativo, então a parábola desce abaixo do eixo x entre as raízes — faz sentido porque as raízes são reais e distintas.

Passo 8

Como montar o esboço (passo a passo para desenhar na folha, sem calculadora):
  1. Marque o eixo x e y. Coloque marcas para frações: \frac{1}{3}\approx0{,}333, \frac{5}{6}\approx0{,}833, \frac{4}{3}\approx1{,}333; no eixo y marque y=\frac{4}{9}\approx0{,}444 e y=-\frac{1}{4}=-0{,}25.
  2. Plote os pontos: \left(\frac{1}{3},0\right), \left(\frac{4}{3},0\right), \left(0,\frac{4}{9}\right) e o vértice \left(\frac{5}{6},-\frac{1}{4}\right).
  3. Desenhe uma curva suave em forma de U que passa pelos dois pontos das raízes, passa por \left(0,\frac{4}{9}\right) e atinge o mínimo no vértice. A curva é simétrica em relação a x=\frac{5}{6} e abre para cima.
  4. Opcional: marque a concavidade com uma seta para cima ou escreva a=1>0 para lembrar que abre para cima.
Visualização mental rápida: o intercepto em y está entre as duas raízes, o vértice está entre x=\tfrac{1}{3} e x=\tfrac{4}{3} e tem y negativo, então a parábola desce do lado esquerdo, cruza o eixo x em \tfrac{1}{3}, atinge o mínimo em \tfrac{5}{6}, sobe cruzando novamente o eixo x em \tfrac{4}{3}.

Passo 9

Resumo das interpretações (dicas rápidas para prova):
  • Se \Delta>0 temos duas raízes reais distintas (caso aqui).
  • Se \Delta=0 temos uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo x num ponto).
  • Se \Delta<0 não há raízes reais (a parábola não corta o eixo x).
  • Para desenhar, sempre ache: coeficiente a (concavidade), raízes, intercepto em y e vértice (ou pelo menos o eixo de simetria).

Resposta

Raízes: x=\dfrac{1}{3} e x=\dfrac{4}{3}
Intercepto em y: y=\dfrac{4}{9}

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