Esboce o gráfico das funções quadráticas abaixo indicando onde cruza o eixo
(raízes) e
eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática
indicando onde ela cruza o eixo
(ou seja, as raízes) e onde cruza o eixo
(o intercepto em
).
Informações dadas: a expressão algébrica da função está completa; não há figura fornecida.
Informações dadas: a expressão algébrica da função está completa; não há figura fornecida.
Passo 2
O que precisamos achar e por que:
- “Raízes” são os valores de
para os quais . Graficamente, são os pontos onde a parábola corta o eixo . - "Intercepto em
" é o valor de quando ; é o ponto onde a parábola corta o eixo .
Para encontrar as raízes usaremos a fórmula quadrática. Para traçar um esboço bom também é útil achar o vértice e a concavidade (abre para cima ou para baixo).
Passo 3
Identificamos os coeficientes da forma geral
:
Comentário rápido e amigo:
determina se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
). Aqui
, então a parábola abre para cima.
Passo 4
Para saber se há raízes reais e quantas, calculamos o discriminante
Substituindo:
Logo
Interpretação:
significa que há duas raízes reais distintas.
Passo 5
Usamos a fórmula quadrática para as raízes:
Calculando passo a passo:
Portanto
Fazendo as duas possibilidades:
- Com o sinal
:
- Com o sinal
:
Logo as raízes são
e
. Graficamente, os pontos de corte com o eixo
são
e
.
Passo 6
Intercepto em
: basta pôr
na função. Como
,
O ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 7
Para esboçar bem, encontramos também o vértice e a linha de simetria.
A abscissa do vértice é
A abscissa do vértice é
Para a ordenada do vértice, substituímos
na função:
Calculemos com denominador comum
:
Agora
Então o vértice é
. A linha de simetria é
.
Comentário amigo: o vértice tem
, que é negativo, então a parábola desce abaixo do eixo
entre as raízes — faz sentido porque as raízes são reais e distintas.
Passo 8
Como montar o esboço (passo a passo para desenhar na folha, sem calculadora):
- Marque o eixo
e . Coloque marcas para frações: , , ; no eixo marque e . - Plote os pontos:
, , e o vértice . - Desenhe uma curva suave em forma de U que passa pelos dois pontos das raízes, passa por
e atinge o mínimo no vértice. A curva é simétrica em relação a e abre para cima. - Opcional: marque a concavidade com uma seta para cima ou escreva
para lembrar que abre para cima.
Visualização mental rápida: o intercepto em
está entre as duas raízes, o vértice está entre
e
e tem
negativo, então a parábola desce do lado esquerdo, cruza o eixo
em
, atinge o mínimo em
, sobe cruzando novamente o eixo
em
.
Passo 9
Resumo das interpretações (dicas rápidas para prova):
- Se
temos duas raízes reais distintas (caso aqui). - Se
temos uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo num ponto). - Se
não há raízes reais (a parábola não corta o eixo ). - Para desenhar, sempre ache: coeficiente
(concavidade), raízes, intercepto em e vértice (ou pelo menos o eixo de simetria).
Resposta
Raízes:
e
Intercepto em :
Intercepto em