- Uma função
diz-se semi-contínua superiormente (scs) no ponto
quando, para cada
dado, existe
tal que
. A função
diz-se semi-contínua inferiormente (sci) no ponto
quando, para cada
dado, existe
tal que
. Prove que
é contínua no ponto
se, e somente se, é scs e sci neste ponto.
Passo 1
O enunciado define uma função
e diz que
é semi-contínua superiormente (scs) em
se para todo
existe
tal que
e é semi-contínua inferiormente (sci) em
se para todo
existe
tal que
Precisamos mostrar que
é contínua em
(no sentido usual “para todo
existe
tal que
”) se, e somente se, ela for ao mesmo tempo scs e sci em
.
Passo 2
(Continuidade
scs e sci)
Suponha que seja contínua em
. Dado um número
, tome
Suponha que
Pela continuidade, existe
tal que
Em particular,
implica
. Isso mostra que
é scs em
.
De modo análogo, dado
escolhemos
e a continuidade fornece
tal que
. Logo
, provando que
é sci em
.
Passo 3
(scs e sci
continuidade)
Agora suponha que seja scs e sci em
. Queremos: para todo
existe
tal que
.
Agora suponha que
- Como
é scs, para existe com
- Como
é sci, para existe com
Escolhendo
, obtemos para
ambas as desigualdades
ou seja
. Isso mostra que
é contínua em
.