1. Uma função f: X \rightarrow \mathbb{R} diz-se semi-contínua superiormente (scs) no ponto a \in X quando, para cada c>f(a) dado, existe \delta>0 tal que x \in X,|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<c. A função f diz-se semi-contínua inferiormente (sci) no ponto a \in X quando, para cada c<f(a) dado, existe \delta>0 tal que x \in X,|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>c. Prove que f é contínua no ponto a se, e somente se, é scs e sci neste ponto.

Passo 1

O enunciado define uma função f\colon X\to\mathbb{R} e diz que f é semi-contínua superiormente (scs) em a se para todo c>f(a) existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta\implies f(x)<c,
e é semi-contínua inferiormente (sci) em a se para todo c<f(a) existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta\implies f(x)>c.
Precisamos mostrar que f é contínua em a (no sentido usual “para todo \varepsilon>0 existe \delta tal que |x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\varepsilon”) se, e somente se, ela for ao mesmo tempo scs e sci em a.

Passo 2

(Continuidade \implies scs e sci)
Suponha que f seja contínua em a. Dado um número c>f(a), tome
\varepsilon = c - f(a) > 0.
Pela continuidade, existe \delta>0 tal que
|x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Em particular, |f(x)-f(a)|<\varepsilon implica f(x) < f(a)+\varepsilon = c. Isso mostra que f é scs em a.
De modo análogo, dado c<f(a) escolhemos
\varepsilon = f(a)-c>0,
e a continuidade fornece \delta>0 tal que |x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Logo f(x)>f(a)-\varepsilon = c, provando que f é sci em a.

Passo 3

(scs e sci \implies continuidade)
Agora suponha que f seja scs e sci em a. Queremos: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-a|<\delta\implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
  1. Como f é scs, para c_1 = f(a)+\varepsilon existe \delta_1>0 com
|x-a|<\delta_1\implies f(x)<f(a)+\varepsilon.
  1. Como f é sci, para c_2 = f(a)-\varepsilon existe \delta_2>0 com
|x-a|<\delta_2\implies f(x)>f(a)-\varepsilon.
Escolhendo \delta = \min(\delta_1,\delta_2), obtemos para |x-a|<\delta ambas as desigualdades
f(a)-\varepsilon < f(x) < f(a)+\varepsilon,
ou seja |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Isso mostra que f é contínua em a.

Resposta

f é contínua em a se, e somente se, é ao mesmo tempo semi-contínua superiormente e semi-contínua inferiormente em a.

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