Unidade 3: Derivadas
- Seja
uma bijeção entre os conjuntos
, com inversa
. Se
é derivável no ponto
e
é contínua no ponto
então
é derivável no ponto
se, e somente se,
. No caso afirmativo, tem-se
.
- Seja
derivável no intervalo
. Se existe
tal que
para todo
, então
.
- A fim de que a função
seja monótona não-decrescente no intervalo
é necessário e suficiente que
para todo
. Se
para todo
então
é uma bijeção crescente de
sobre o intervalo
e sua inversa
é derivável.
para todo
.
- Seja
derivável no ponto
. Prove que
. Dê um exemplo em que este limite existe porém
não é derivável no ponto
.
- Mostre que se
é derivável e par, então
é ímpar e vice-versa.
- Seja
derivável tal que
. Prove que existe
tal que
.
- Seja
uma função tal que
. Prove que
é derivável em
.
- Seja
uma função contínua. Mostre que
é derivável em
.
- Seja
uma função derivável tal que
quando
. Suponha que exista
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado 1 pede para provar o Teorema da Função Inversa numa variável: seja
bijeção, diferenciável em
, e
contínua em
. Mostrar que
é derivável em
se, e somente se,
, e neste caso
Vamos usar o quociente incremental de
e relacioná-lo ao de
.
Passo 2
Suponha primeiro
. Para
pequeno, definimos
Colocando
, isso é
onde
. Mas o primeiro fator é exatamente o quociente de
em
, cujo limite, pela continuidade de
e pela hipótese
, vale
. Logo
ou seja,
.
Passo 3
Agora, suponha que
seja derivável em
. Então
existe e é finito. Mas como
, segue que
não pode ser zero (caso contrário o inverso não existiria ou seria infinito).
Resposta
Está demonstrado que
é derivável em
exatamente quando
, e nesse caso