Unidade 3: Derivadas

  1. Seja f: X \rightarrow Y uma bijeção entre os conjuntos X, Y \subset \mathbb{R}, com inversa g=f^{-1}: Y \rightarrow X. Se f é derivável no ponto a \in X \cap X^{\prime} e g é contínua no ponto b=f(a) então g é derivável no ponto b se, e somente se, f^{\prime}(a) \neq 0. No caso afirmativo, tem-se g^{\prime}(b)=1 / f^{\prime}(a).
  2. Seja f: I \rightarrow \mathbb{R} derivável no intervalo I. Se existe k \in \mathbb{R} tal que \left|f^{\prime}(x)\right| \leq k para todo x \in I, então x, y \in I \Rightarrow|f(y)-f(x)| \leq k|y-x|.
  3. A fim de que a função f: I \rightarrow \mathbb{R} seja monótona não-decrescente no intervalo I é necessário e suficiente que f^{\prime}(x) \geq 0 para todo x \in I. Se f^{\prime}(x)>0 para todo x \in I então f é uma bijeção crescente de I sobre o intervalo J e sua inversa g=f^{-1}: J \rightarrow I é derivável. \operatorname{com} g^{\prime}(y)=1 / f^{\prime}(x) para todo y=f(x) \in J.
  4. Seja f: A \rightarrow \mathbb{R} derivável no ponto a \in A \cap A^{\prime}. Prove que f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}. Dê um exemplo em que este limite existe porém f não é derivável no ponto a.
  5. Mostre que se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é derivável e par, então f^{\prime} é ímpar e vice-versa.
  6. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} derivável tal que f(t x)=t f(x), \forall t, x \in \mathbb{R}. Prove que existe c \in \mathbb{R} tal que f(x)=c x.
  7. Seja f uma função tal que |f(x)| \leq x^{4}, \forall x. Prove que f é derivável em x=0.
  8. Seja h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Mostre que f(x):=x^{2} h(x) é derivável em x=0.
  9. Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável tal que f(x) \rightarrow L quando x \rightarrow \infty. Suponha que exista \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=M. Mostre que M=0.

Passo 1

O enunciado 1 pede para provar o Teorema da Função Inversa numa variável: seja f\colon X\to Y bijeção, diferenciável em a, e g=f^{-1} contínua em b=f(a). Mostrar que g é derivável em b se, e somente se, f'(a)\neq0, e neste caso
g'(b)=\frac1{f'(a)}.
Vamos usar o quociente incremental de g e relacioná-lo ao de f.

Passo 2

Suponha primeiro f'(a)\neq0. Para h pequeno, definimos
\frac{g(b+h)-g(b)}{h} =\frac{f^{-1}\bigl(f(a)+h\bigr)-a}{h}.
Colocando y=f(a)+h, isso é
\frac{g(b+h)-g(b)}{h} =\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(a))}{y-f(a)}\cdot\frac{y-f(a)}{h} =\frac{a+h_f -a}{y-f(a)}\cdot1,
onde h_f=y-f(a)=h. Mas o primeiro fator é exatamente o quociente de f^{-1} em y, cujo limite, pela continuidade de g e pela hipótese f'(a)\neq0, vale \tfrac1{f'(a)}. Logo
\lim_{h\to0}\frac{g(b+h)-g(b)}{h} =\frac1{f'(a)},
ou seja, g'(b)=1/f'(a).

Passo 3

Agora, suponha que g seja derivável em b. Então g'(b) existe e é finito. Mas como g'(b)=1/f'(a), segue que f'(a) não pode ser zero (caso contrário o inverso não existiria ou seria infinito).

Resposta

Está demonstrado que g é derivável em b exatamente quando f'(a)\neq0, e nesse caso
g'(b)=\frac1{f'(a)}.

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