(3 pontos) Resolva a equação
\frac{d y}{d x}=y^{2}-(\tan x) y+\operatorname{sec} ^{2} x, y_{1}=\tan x .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y^{2}-(\tan x)\,y+\operatorname{sec}^{2}x
e informa que uma solução particular é \,y_{1}=\tan x. Trata–se de uma equação de Riccati, e para resolver precisamos aplicar a mudança
y(x)=y_{1}(x)+\frac{1}{v(x)}
para reduzir a um problema linear em v(x).

Passo 2

Fazendo a substituição
y=\tan x+\frac{1}{v},
temos
\frac{dy}{dx} =\operatorname{sec}^{2}x-\frac{1}{v^{2}}\frac{dv}{dx}
por derivar \tan x e \frac{1}{v}.
Por outro lado,
y^{2}-(\tan x)\,y+\operatorname{sec}^{2}x =\Bigl(\tan x+\tfrac{1}{v}\Bigr)^{2} -\tan x\Bigl(\tan x+\tfrac{1}{v}\Bigr) +\operatorname{sec}^{2}x,
que expande para
\tan^{2}x+\frac{2\tan x}{v}+\frac{1}{v^{2}} -\tan^{2}x-\frac{\tan x}{v} +\operatorname{sec}^{2}x =\frac{\tan x}{v}+\frac{1}{v^{2}}+\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Igualando as duas expressões para \frac{dy}{dx}, cancelando \operatorname{sec}^{2}x em ambos os lados e multiplicando por v^{2}, obtemos
-\frac{dv}{dx}=\,\tan x\;v+1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx}+\tan x\,v=-1.
Esta é uma equação linear de primeira ordem em v(x).

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int\tan x\,dx} =e^{-\ln\lvert\cos x\rvert} =\operatorname{sec} x.
Multiplicando a equação por \operatorname{sec} x vem
\frac{d}{dx}\bigl(v\,\operatorname{sec} x\bigr) =-\operatorname{sec} x.
Integrando:
v(x)\,\operatorname{sec} x=-\int\operatorname{sec} x\,dx +C =-\ln\bigl\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\bigr\rvert +C.
Logo
v(x) =\cos x\Bigl(C-\ln\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\rvert\Bigr).

Passo 5

Voltando a y=\tan x+1/v, escrevemos
\frac{1}{v} =\frac{1}{\cos x\,(C-\ln\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\rvert)} =\frac{\operatorname{sec} x}{\,C-\ln\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\rvert\,}.
Portanto a solução geral é
y(x) =\tan x +\frac{\operatorname{sec} x}{\,C-\ln\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\rvert\,},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=\tan x +\frac{\operatorname{sec} x}{\,C-\ln\lvert\operatorname{sec} x+\tan x\rvert\,}.

Exercícios relacionados