(3 pontos) Resolva a equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que uma solução particular é
. Trata–se de uma equação de Riccati, e para resolver precisamos aplicar a mudança
para reduzir a um problema linear em
.
Passo 2
Fazendo a substituição
temos
por derivar
e
.
Por outro lado,
Por outro lado,
que expande para
Passo 3
Igualando as duas expressões para
, cancelando
em ambos os lados e multiplicando por
, obtemos
Esta é uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
vem
Integrando:
Logo
Passo 5
Voltando a
, escrevemos
Portanto a solução geral é
onde
é a constante de integração.